初項にnを含む数列の和

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は初項に\(\small{ \ n \ }\)を含む数列の和について学習していこう。

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\(\small{ \ n \ }\)を代入するたびに初項が変わる

例えば

\(\small{ \ \mathrm{S}_n=1\cdot n +2\cdot (n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+(n-1)\cdot2+n\cdot1 \ }\)

の場合、\(\small{ \ \mathrm{S}_3=1\cdot 3 +2\cdot 2+3\cdot 1 \ }\)になるけど\(\small{ \ \mathrm{S}_4=1\cdot 4 +2\cdot 3+3\cdot2+4\cdot1 \ }\)になるから初項を見てみると\(\small{ \ \mathrm{S}_3 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\cdot 3 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{S}_4 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\cdot 4 \ }\)になっているのがわかるよね。

初項に\(\small{ \ n \ }\)を含むから\(\small{ \ n \ }\)を代入するたびに初項も変化するんだ。

初項にnを含む数列の和

\(\small{ \ S_n=a_{n,1}+a_{n-1,2}+a_{n-2,3}+\cdots+a_{2,n-1}+a_{1,n}=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }a_{n-k+1,k} \ }\)

初項から数えて\(\small{ \ k \ }\)項目を一般項\(\small{ \ a_{n-k,k} \ }\)とする。

\(\small{ \ n \ }\)に数値を代入するたびに並ぶ数は変化するから、\(\small{ \ n \ }\)の値が変化すると一つとして同じ項はないからね。

一般項は\(\small{ \ a_n \ }\)じゃなくて\(\small{ \ a_k \ }\)

\(\small{ \ n \ }\)が初項に含まれているから、一般項を\(\small{ \ n \ }\)番目にすると、初項との関係から\(\small{ \ n \ }\)が何でもいいよってことにならない。

だから、初項と無関係な\(\small{ \ k \ }\)項目を一般項にしよう

すると求める和の値は、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の公式で\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)までを代入するから、一般項に含まれる\(\small{ \ n \ }\)は定数として扱うことになるよ。

例題を確認
問題解答

次の値を求めよ。

\(\small{ \ \mathrm{S}_n=1\cdot n +2\cdot (n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+(n-1)\cdot2+n\cdot1 \ }\)

一般項を\(\small{ \ a_k \ }\)とすると左側は初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 1 \ }\)の等差数列、右側は初項\(\small{ \ n \ }\)公差\(\small{ \ -1 \ }\)の等差数列だから\(\small{ \ a_k=k \cdot (n-k+1) \ }\)となる。

\(\small{ \ \mathrm{S}_n=1\cdot n +2\cdot (n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+(n-1)\cdot2+n\cdot1 \ }\)

\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot (n-k+1) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left\{-k^2+(n+1)k\right\} \ }\)
\(\small{ \ =-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 +(n+1)\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k \ }\)

\(\small{ \ =-\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)\cdot\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)

point
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の公式は\(\small{ \ k \ }\)に数値を代入するから\(\small{ \ n \ }\)は単なる係数とみなすことができるから、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の前にくくり出して計算しよう。もちろん求める和の値には\(\small{ \ k \ }\)は含まれていないから\(\small{ \ n \ }\)の式にね。

Point 初項にnを含む数列の和

①一般項は\(\small{ \ k \ }\)項目を求める
②\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の\(\small{ \ n \ }\)は前にくくり出す

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

中心が同じで半径が等しい円板を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の周を\(\small{ \ n \ }\)等分する点に\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)は時計回りに、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)は反時計回りに順に、\(\small{ \ 1、2、\cdots、n \ }\)という番号をつける。ただし、\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)以上の整数とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の番号\(\small{ \ 1 \ }\)を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の番号\(\small{ \ x \ }\)に合わせたときの対応する番号どうしの積の総和\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)について答えよ。

(1)\(\small{ \ \mathrm{S}(n)=1\cdot n +2\cdot (n-1)+3\cdot(n-2)+\cdots+(n-1)\cdot2+n\cdot1 \ }\)を求めよ。

(2)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)の簡単な式で表せ。
(3)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)が最大となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最大値および最小となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最小値を求めよ。

(1)

\(\small{ \ \mathrm{S}(n)=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k(n-k+1)=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)

(2)

\(\small{ \ \mathrm{S}(x)=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ x } k(x-k+1)+\displaystyle \sum_{ k = x+1 }^{ n } k(x-k+1+n) \ }\)

\(\small{ \ =-\displaystyle \frac{n}{2}x^2+\displaystyle \frac{n^2}{2}x+\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
(3)

\(\small{ \ \mathrm{S}(x)=-\displaystyle \frac{n}{2}\left(x-\displaystyle \frac{n}{2}\right)^2+\displaystyle \frac{n^3}{8}+\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)

最小値は\(\small{ \ x=n \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
最大値は\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(7n^2+12n+8)}{24} \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n-1}{2}、\displaystyle \frac{n+1}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(n+1)(7n+5)}{24} \ }\)

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