対称式

数学I 数と式

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は対称式について学習していこう。

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対称式とは

\(\small{ \ x^2+xy+y^2 \ }\)の式の\(\small{ \ x \ }\)に\(\small{ \ y \ }\)を、\(\small{ \ y \ }\)に\(\small{ \ x \ }\)を代入すると\(\small{ \ y^2+yx+x^2 \ }\)となり元の式と同じになる。このような式を対称式という。

対称式

式中の2文字を交換しても元の式と同じ場合、この式はその2文字について対称式であるという。また、式中のどの2文字を交換しても元の式と同じ場合、単に対称式という。

・対称式の性質
①すべての対称式は基本対称式で表すことができる。
②\(\small{ \ n \ }\)次の対称式は\(\small{ \ n \ }\)次の基本対称式で表すことができる。
③対称式同士の和、差、積、商も対称式である。

基本対称式

基本対称式とはその名の通り基となる対称式のこと。

・2次の基本対称式
\(\small{ \ x+y, \ xy \ }\)

・3次の基本対称式
\(\small{ \ x+y+z, \ xy+yz+zx, \ xyz \ }\)

・4次の基本対称式
\(\small{ \ x+y+z+\omega, \ xy+yz+z\omega+\omega x+y\omega+yz, \ xyz +yz\omega+z\omega x +\omega x y, \ xyz\omega\ }\)

このように基本対称式は1次の和、2次の和、3次の和、・・・・となっている。

覚えておきたい対称式

\(\small{ \ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \ }\)
\(\small{ \ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \ }\)
\(\small{ \ x^{n+2}+y^{n+2}=(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n) \ }\)
\(\small{ \ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) \ }\)
\(\small{ \ x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz \ }\)
\(\small{ \ x^2+\displaystyle \frac{1}{x^2}=\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^2-2 \ }\)
\(\small{ \ x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right) \ }\)

対称式の利用

・解と係数の関係と対称式
 \(\small{ \ \alpha+\beta, \ \alpha\beta \ }\)
 \(\small{ \ \alpha+\beta+\gamma, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha, \ \alpha\beta\gamma \ }\)
・2次の基本対称式を応用した三角関数での利用
 \(\small{ \ \sin x+ \cos x, \ \sin x \cos x \ }\)

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