積分区間に変数を含んだ定積分で表された関数とその解き方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は積分区間に変数を含んだ定積分で表された関数とその解き方について学習していこう。

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積分区間に変数を含んだ定積分で表された関数

前回積分区間が定数の定積分を含んだ関数について学習しだけど、今回は積分区間に変数\(\small{ \ x \ }\)がある定積分で表された関数になる。

つまり\(\small{ \ \displaystyle \int_{0}^{1} f(t) dt \ }\)じゃなくて\(\small{ \ \displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt \ }\)を含む関数ってことだからね。

積分区間が定数の定積分を含んだ定積分で表された関数についても併せて復習しておこう。

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積分区間に変数を含んだ定積分で表された関数

・\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a }^{ x} f(t) dt=f(x) \ }\)
・\(\small{ \ \displaystyle\int_{a }^{x} f(t) dt \ }\)に\(\small{ \ x=a \ }\)を代入

積分区間に変数を含む定積分は微分する

積分区間に変数\(\small{ \ x \ }\)を含む定積分\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x}(2t+3) dt \ }\)について考えてみよう。

これを計算すると
\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{x}(2t+3) dt\\
=\left[t^2+3t\right]_{a}^{x}\\
=x^2+3x-a^2-3a \ }\)
これを\(\small{ \ x \ }\)で微分すると\(\small{ \ 2x+3 \ }\)になるよね。
これって\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x}(2t+3) dt \ }\)の積分する関数の\(\small{ \ t \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)に変えたものだよね。

たしかに
\(\small{\begin{eqnarray}\displaystyle\int_{a}^{x}f(t) dt&=&\left[F(t)\right]_{a}^{x}\\
&=&F(x)-F(a) \ \end{eqnarray}}\)
になって\(\small{ \ F(t) \ }\)と\(\small{ \ f(t) \ }\)には微分と積分の関係があるから\(\small{ \ F'(x)=f(x) \ }\)になるよね。

ちなみに\(\small{ \ F(a) \ }\)は定数だから微分すると\(\small{ \ F'(a)=0 \ }\)になるからね。

つまり積分定数に\(\small{ \ x \ }\)を含む定積分は計算すると\(\small{ \ x \ }\)の関数になるから、当然微分することもできるんだ。

だから\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt=f(x) \ }\)が成り立つんだ。

\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx} \ }\)は\(\small{ \ x \ }\)で微分するってことを表す記号だからね。

積分区間に変数\(\small{ \ x \ }\)を含む定積分を見たら\(\small{ \ x \ }\)で微分しよう。

積分区間のもう一つの定数を代入

積分区間に変数\(\small{ \ x \ }\)を含む関数の場合、\(\small{ \ x \ }\)は上端か下端のどちらかに含まれていて、もう一端は定数(数字や文字定数)の場合がほとんどなんだ。

だからその場合、もう一端の定数を両辺の\(\small{ \ x \ }\)に代入しよう。

例えば\(\small{ \ \displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt \ }\)なら\(\small{ \ x=1 \ }\)を、\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)なら\(\small{ \ x=a \ }\)を両辺に代入するんだ。

すると\(\small{ \ \displaystyle \int_{1}^{x} f(t) dt \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \int_{1}^{1} f(t) dt=0 \ }\)になるし、\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)も\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{a} f(t) dt=0 \ }\)になるからね。

例題を確認
問題解答

次の等式を満たす\(\small{ \ f(x) \ }\)と定数\(\small{ \ a \ }\)の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ \displaystyle \int_{a }^{ x } f(t) dt=x^2+x-6 \ }\)
(2)\(\small{ \ \displaystyle \int_{1 }^{ x } f(t) dt=x^2-3x+a \ }\)

(1)\(\small{ \ \displaystyle \int_{a }^{ x } f(t) dt=x^2+x-6 \ }\)
両辺を\(\small{ \ x \ }\)で微分すると
\(\small{ \ f(x)=2x+1 \ }\)
\(\small{ \ x=a \ }\)を代入すると
\(\small{ \ \displaystyle \int_{a }^{ a } f(t) dt=a^2+a-6 \ }\)
\(\small{ \ (a+3)(a-2)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=2, \ -3 \ }\)

(2)\(\small{ \ \displaystyle \int_{1 }^{ x } f(t) dt=x^2-3x+a \ }\)
両辺を\(\small{ \ x \ }\)で微分すると
\(\small{ \ f(x)=2x-3 \ }\)
\(\small{ \ x=1 \ }\)を代入すると
\(\small{ \ \displaystyle \int_{1 }^{ 1 } f(t) dt=1^2-3\cdot1+a \ }\)
\(\small{ \ a-2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=2 \ }\)

point
とにかく積分区間に変数があった場合は変数で微分することを考えよう。

Point 積分区間に変数を含んだ定積分で表された関数とその解き方

①定積分を積分区間の変数で微分する
②積分区間の定数を両辺に代入する

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