積分区間に変数を含む定積分で表された関数の極大・極小

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は積分区間に変数を含む定積分で表された関数の極大・極小について学習していこう。

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積分区間に変数を含む定積分で表された関数

\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)は計算すると\(\small{ \ x \ }\)の式になるよね。
つまりこれは\(\small{ \ x \ }\)の関数だから微分して極大値・極小値を求めることができるんだ。

今回はこの最大最小について考えていこう。

その前に積分区間に変数を含む定積分で表された関数については以前学習しているから、まずはそっちを確認してから進めよう。

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積分区間に変数を含む定積分で表された関数の極大値・極小値

\(\small{ \ F(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)のとき
\(\small{ \ F'(x)=f(x) \ }\)
\(\small{ \ F'(x)=f(x)=0 \ }\)を解いて
\(\small{ \ F(x) \ }\)の増減表を書く

\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{q(x)}^{p(x)}g(t)dt \ }\)のとき
\(\small{ \ f'(x)=g(p(x))\cdot p'(x)-g(q(x))\cdot q'(x) \ }\)

積分区間に変数を含む定積分で表された関数の解き方

以前学習したように\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)は\(\small{ \ x \ }\)で微分すると\(\small{ \ f(x) \ }\)になるんだったよね。

つまり\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt=f(x) \ }\)ってこと。

今回学習するのはこの\(\small{ \ f(t) \ }\)の関数が与えられてる問題になるんだ。

例えば\(\small{ \ f(t)=t^2-t-2 \ }\)のとき、\(\small{ \ \displaystyle \int_{1}^{x} (t^2-t-2) dt \ }\)は計算することができるから、\(\small{ \ g(x)=\displaystyle \int_{1}^{x} (t^2-t-2) dt \ }\)とすれば、\(\small{ \ g'(x)=0 \ }\)となる\(\small{ \ x \ }\)を求めて増減表を書いて、\(\small{ \ g(x) \ }\)のグラフを書こう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}(3t^2-6t-9)dt \ }\)の極値を求めよ。

\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}(3t^2-6t-9)dt\\
&=&\left[t^3-3t^2-9t\right]_{0}^{x}\\
&=&x^3-3x^2-9x \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ f'(x)=3x^2-6x-9 \ }\)より
\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)とすると
\(\small{ \ 3x^2-6x-9=0 \ }\)
\(\small{ \ x^2-2x-3=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-3)(x+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=-1, \ 3 \ }\)
\(\small{ \ f(3)=-27, \ f(-1)=5 \ }\)
増減表を書くと
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
y’& + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
y & \nearrow & 5 & \searrow & -27 & \nearrow
\end{array} \ }\)
極大値\(\small{ \ 5 \ \ \ (x=-1) \ }\)
極小値\(\small{ \ -27 \ (x=3) \ }\)

point
\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt=f(x) \ }\)になるから極値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値は簡単に計算できるけど、極大値や極小値は元の関数をきちんと求めないといけないから結局\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \ }\)を求める必要があるんだ。

積分区間の上端下端ともに変数の定積分

\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x^2}(2t+3)dt \ }\)について考えてみよう。
これを計算すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&\displaystyle\int_{x}^{x^2}(2t+3)dt\\
&=&\left[t^2+3t\right]_{x}^{x^2}\\
&=&(x^2)^2+3x^2-(x^2+3x)\cdots①\\
&=&x^4+2x^2-3 \ \end{eqnarray}}\)
になる。

だからこれを微分すると
\(\small{ \ f'(x)=4x^3+4x-3 \ }\)になるよね。

それじゃ\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ ① \ }\)の式の状態で微分してみよう。
\(\small{\begin{eqnarray} \ f'(x)&=&\left\{ \ (x^2)^2+3x^2-(x^2+3x)\right\}'\\
&=&2x^2\cdot2x+3\cdot2x-(2x+3)\\
&=&(2x^2+3)\cdot2x-(2x+3) \ \end{eqnarray}}\)

これは\(\small{ \ g(t)=2t+3 \ }\)とすると
\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x^2}g(t)dt \ }\)になって
\(\small{ \ f'(x)=g(x^2)\cdot2x-g(x) \ }\)
になることを表しているんだ。

\(\small{ \ g(x^2)\cdot2x=g(x^2)\cdot(x^2)' \ }\)になるから、これから一般的に考えてみると
\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{q(x)}^{p(x)}g(t)dt \ }\)のとき
\(\small{ \ f'(x)=g(p(x))\cdot p'(x)-g(q(x))\cdot q'(x) \ }\)がいえるんだ。

数学Ⅱの範囲では計算できる問題がほとんどだからこの式を覚える必要はないけど、理系の人は数学Ⅲで必要になるから覚えておこう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ F(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}(t^3-t)dt \ }\)の極大値と極小値を求めよ。

\(\small{ \ F(x) \ }\)を計算すると

\(\small{\begin{eqnarray} \ F(x)&=&\displaystyle\int_{x}^{x+1}(t^3-t)dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{4}t^4-\displaystyle\frac{1}{2}t^2\right]_{x}^{x+1}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{4}(x+1)^4-\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)^2-\displaystyle\frac{1}{4}x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\\
&=&x^3+\displaystyle\frac{3}{2}x^2-\displaystyle\frac{1}{4} \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ F'(x)=3x^2+3x \ }\)
\(\small{ \ F'(x)=0 \ }\)とすると
\(\small{ \ 3x^2+3x=0 \ }\)
\(\small{ \ x(x+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=-1, \ 0 \ }\)
\(\small{ \ F(0)=-\displaystyle\frac{1}{4}, \ F(-1)=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
増減表を書くと
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
y’& + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
y & \nearrow & \displaystyle\frac{1}{4} & \searrow & -\displaystyle\frac{1}{4} & \nearrow
\end{array} \ }\)
極大値\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{4} \ \ \ (x=-1) \ }\)
極小値\(\small{ \ -\displaystyle\frac{1}{4} \ (x=0) \ }\)

point
\(\small{ \ F(x)=\displaystyle \int_{x}^{x+1} g(t) dt \ }\)のとき\(\small{ \ F'(x)=g(x+1)-g(x) \ }\)って計算することもできるからね。

Point 積分区間に変数を含む定積分で表された関数の極大・極小

①定積分を計算して関数を求める
②\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt=f(x) \ }\)を利用する

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