積分区間が定数の定積分で表された関数とその解き方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は積分区間が定数の定積分で表された関数とその解き方について学習していきましょう。

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積分区間が定数の定積分で表された関数

「定積分で表された関数」っていうと大きく分けて四つあるけど今回はその中の一つの「①積分区間が定数の定積分で表された関数の決定」について学習していこう。

\(\small{ \ \displaystyle\int_{1}^{x}f(t)dt \ }\)じゃなくて\(\small{ \ \displaystyle\int_{1}^{2}f(t)dt \ }\)が含まれているような問題ね。

そんなに難しくないからきちんとポイントを抑えておこう。

積分区間が定数の定積分で表された関数

定積分を定数として文字でおく
\(\normalsize{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt=k \ }\)
\(\small{ \ f(x)=2x+\displaystyle\int_{1}^{3}f(t)dt \ }\)のとき
\(\small{ \ \displaystyle\int_{1}^{3}f(t)dt=k \ }\)として問題を考える

積分区間が定数の定積分で表された関数の解き方

例えば\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)dx=\left[x^2+x\right]_{0}^{1}=2 \ }\)だよね。
だから積分区間が定数の定積分の値は定数になるんだ。

\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)の\(\small{ \ f(t) \ }\)がどんな式なのかは、まだわからないけど、\(\small{ \ f(t) \ }\)が分かったら定数になるよね。

だからまずは積分区間が定数の定積分\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)を文字定数\(\small{ \ k \ }\)とおこう。

そうすると\(\small{ \ f(x) \ }\)が\(\small{ \ k \ }\)を使って表せるから、\(\small{ \ k \ }\)を求めて\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよう。

例題を確認
問題解答

次の等式を満たす関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよ。
(1)\(\small{ \ f(x)=x+\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt \ }\)
(2)\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\int_{0}^{3}\left\{2x-f(t)\right\}dt \ }\)

(1)\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt=k \ }\)とおくと
\(\small{ \ f(x)=x+k \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ k&=&\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{3}(t+k)dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{2}t^2+kt\right]_{0}^{3}\\
&=&3k+\displaystyle\frac{9}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ k=3k+\displaystyle\frac{9}{2} \ }\)より\(\small{ \ \therefore k=-\displaystyle\frac{9}{4} \ }\)
\(\small{ \ \therefore f(x)=x-\displaystyle\frac{9}{4} \ }\)

(2)式を整理すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{3}\left\{2x-f(t)\right\}dt\\
&=&2x\displaystyle\int_{0}^{3}dt-\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt\\
&=&2x\left[t\right]_{0}^{3}-\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt\\
&=&6x-\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt=k \ }\)とおくと
\(\small{ \ f(x)=6x-k \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ k&=&\displaystyle\int_{0}^{3}f(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{3}(6t-k)dt\\
&=&\left[3t^2-kt\right]_{0}^{3}\\
&=&27-3k \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ k=27-3k \ }\)より\(\small{ \ \therefore k=\displaystyle\frac{27}{4} \ }\)
\(\small{ \ \therefore f(x)=6x-\displaystyle\frac{27}{4} \ }\)

point
例えば\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}xf(t)dt \ }\)の場合、\(\small{ \ x\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)にして\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)の部分だけを\(\small{ \ k \ }\)っておかないといけないから注意しよう。

\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}xf(t)dt \ }\)は変数\(\small{ \ x \ }\)を含んでるから、定数じゃないから\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}xf(t)dt=k \ }\)にはできないからね。

積分区間が定数の定積分が二つある定積分で表された関数

積分区間が定数の定積分が含まれている関数の基本的な解き方はわかったと思うけど、問題によっては積分区間が定数の定積分が二つ含まれている場合もあるから注意しよう。

その場合、二つの定積分は\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)と\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{2}f(t)dt \ }\)のように積分区間が違ったり、\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)と\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}tf(t)dt \ }\)のように積分する関数が違ったりするから、それぞれ別な文字定数\(\small{ \ p, \ q \ }\)や\(\small{ \ a, \ b \ }\)に置き換えよう。

あとはさっきと同じで\(\small{ \ f(x) \ }\)を二つの文字定数を使って表せるから、二つの文字定数を求めて\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよう。

例題を確認
問題解答

次の等式を満たす関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよ。
\(\small{ \ f(x)=x^2-\displaystyle\int_{0}^{2}xf(t)dt+2\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&x^2-\displaystyle\int_{0}^{2}xf(t)dt+2\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\\
&=&x^2-x\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)dt+2\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{2}f(t)dt=a \ }\)\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt=b \ }\)とおくと
\(\small{ \ f(x)=x^2-ax+2b \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a&=&\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(t^2-at+2b)dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{3}t^3-\displaystyle\frac{1}{2}at^2+2bt\right]_{0}^{2}\\
&=&\displaystyle\frac{8}{3}-2a+4b \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 3a-4b-\displaystyle\frac{8}{3}=0\cdots① \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ b&=&\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(t^2-at+2b)dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{3}t^3-\displaystyle\frac{1}{2}at^2+2bt\right]_{0}^{1}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{2}a+2b \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{2}a-b-\displaystyle\frac{1}{3}=0\cdots② \ }\)
\(\small{①,②}\)より
\(\small{ \ a=\displaystyle\frac{4}{3}, \ b=\displaystyle\frac{1}{3} \ }\)
\(\small{ \ \therefore f(x)=x^2-\displaystyle\frac{4}{3}x+\displaystyle\frac{2}{3} \ }\)

point
二つの定積分がある場合は、二つの文字定数でおいて、それぞれの式を立てて連立させて解こう。

二つの定積分で表された関数

次は積分区間が定数の定積分を含む関数を二つある問題について考えてみよう。

二つの関数\(\small{ \ f(x) \ }\)と\(\small{ \ g(x) \ }\)に\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \ }\)や\(\small{ \ \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx \ }\)が含まれている問題なんだけど、この問題も文字定数で置いて、連立方程式をたてて解けばいいから、落ち着いて処理しよう。

二つの文字定数を使って\(\small{ \ f(x) \ }\)と\(\small{ \ g(x) \ }\)をおいて、文字定数を求める式をたてていくところは同じだからね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ f(x)=x^2+\displaystyle\int_{0}^{1}g(t)dt \ }\)と\(\small{ \ g(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt \ }\)を満たす\(\small{ \ f(x) \ }\)と\(\small{ \ g(x) \ }\)を求めよ。

\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}g(t)dt=a \ }\)\(\small{ \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt=b \ }\)とおくと
\(\small{ \ f(x)=x^2+a \ }\)
\(\small{ \ g(x)=bx \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a&=&\displaystyle\int_{0}^{1}g(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{1}bt \ dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{2}bt^2\right]_{0}^{1}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}b \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ a=\displaystyle\frac{1}{2}b\cdots① \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ b&=&\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(t^2+a)dt\\
&=&\left[\displaystyle\frac{1}{3}t^3+at\right]_{0}^{1}\\
&=&a+\displaystyle\frac{1}{3} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ b=a+\displaystyle\frac{1}{3}\cdots② \ }\)
\(\small{ ①,② }\)より
\(\small{ \ a=\displaystyle\frac{1}{3}, \ b=\displaystyle\frac{2}{3} \ }\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(x)=x^2+\displaystyle\frac{1}{3}\\
g(x)=\displaystyle\frac{2}{3}x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

point
とにかく積分区間が定数のものは文字を使っておこう。
あとはその文字について式を立てればいいからね。
今回学習した「積分区間が定数の定積分で表された関数」は三つのパターンがあったけど、どれも文字定数でおけばよかったから、確実に解けるようにしておこう。

Point 積分区間が定数の定積分で表された関数とその解き方

①積分区間が定数の定積分は文字定数でおく
②定積分に積分に関係のない変数が入っていたら外にくくりだす

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