等比数列と等比数列の和

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は等比数列と等比数列の和について学習していこう。

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等比数列とは?

等比数列隣り合う項の数の比がすべて等しい数列のこと。

等差数列と同じで基本的な問題から応用問題まである数列だから、しっかりと考え方を押さえておこう。

等比数列と等比数列の和

等比数列の一般項
\(\small{ \ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \ }\)

等比数列の和
\(\small{ \ \begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}=\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\end{eqnarray} \ }\)
ただし、\(\small{ \ r=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}_n=na_1}\)

\(\small{ \ a_n}\):一般項、\(\small{ \ a_1}\):初項、\(\small{ \ r}\):公比、\(\small{ \ \mathrm{S}_n}\):\(\small{ \ n \ }\)項までの和

等比数列の一般項

等比数列隣り合う項の数の比がすべて等しいから、その比を公比と言って、前の項に公比\(\small{ \ r \ }\)をかけると次の項になるから
\(\small{ \ a_2=a_1\cdot r \ }\)
\(\small{ \ a_3=a_2\cdot r=a_1\cdot r^2 \ }\)
\(\small{ \ a_4=a_3\cdot r=a_1\cdot r^3 \ }\)
\(\small{ \    \vdots \ }\)
\(\small{ \ a_n=a_{n-1}\cdot r=a_1\cdot r^{n-1} \ }\)
になる。

つまり初項\(\small{ \ a_1 \ }\)と公比が決まると一般項\(\small{ \ a_n \ }\)が\(\small{ \ n \ }\)の式で定まるんだ。

等比数列の一般項は\(\small{ \ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \ }\)ってきちんと覚えておこう。

等比数列の和

和については
\(\small{ \ (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)=x^n-1 \ }\)
の式を利用して
\(\small{ \ \begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots +a_1r^{n-1}\\
&=&a_1(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1})\\
&=&\displaystyle \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\end{eqnarray} \ }\)
を導くことができるよね。

この式の分母分子にそれぞれ\(\small{ \ -1 \ }\)をかけると
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ }\)になる。

この二つの式は確実に覚えておこう。

\(\small{ \ r\gt1 \ }\)のときは\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \ }\)を、\(\small{ \ r\lt 1 \ }\)のときは\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ }\)を利用することで、分母が正の数になるから\(\small{ \ r\lt1 \ }\)か\(\small{ \ r\gt1 \ }\)で使い分けるようにしよう

また\(\small{ \ r=1 \ }\)の時は分母が\(\small{ \ 0 \ }\)になるからこの式は使えないからね。
\(\small{ \ r=1 \ }\)の時、\(\small{ \ 1 \ }\)をかけても数は変わらないから同じ数字が並ぶことになって\(\small{ \ \mathrm{S}_n=na_1}\)になる。

\(\small{ \ r=1 \ }\)の数列を等比数列っていうのかって思うかもしれないけど、公比が\(\small{ \ 1 \ }\)の数列っていう問題はほとんどないんだけど、問題文で公比が\(\small{ \ r \ }\)や\(\small{ \ a \ }\)など文字定数で与えられていた場合に\(\small{ \ r=1 \ }\)と\(\small{ \ r\neq1 \ }\)での場合分けが必要になるんだ。

場合分けしておかないと分母が\(\small{ \ 0 \ }\)になるかもしれないからね。

公比が文字定数の等比数列の和は必ず場合分けが必要になるから忘れないようにしよう。

初項と公比を求めよう

等差数列のときと同じで、等比数列も一般項と和の両方の式に共通して言えるのが\(\small{ \ a_n \ }\)も\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)も\(\small{ \ n \ }\)の式になるってこと。

つまり初項\(\small{ \ a_1 \ }\)と公比\(\small{ \ r \ }\)が定まらないと数列が決定しない。
だからそのこと頭にいれて次の例題を確認してみよう。

例題を確認
問題解答

等比数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)は\(\small{ \ a_1 \lt a_2 \ }\)、\(\small{ \ a_1+a_2+a_3=42、a_1a_2a_3=512 \ }\)を満たす。この等比数列の初項と公比を求めよ。

初項を\(\small{ \ a_1 \ }\)、公比を\(\small{ \ r \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1+a_1r+a_1r^2=42\cdots①\\
{a_1}^3r^3=512\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
②より\(\small{ \ a_1=\displaystyle \frac{8}{r} \ }\)
これを①に代入して
\(\small{ \ 8(1+r+r^2)=42r \ }\)
\(\small{ \ (r-4)\left(r-\displaystyle \frac{1}{4}\right) \ }\)
\(\small{ \ r=\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)のとき\(\small{ \ a_1=32 \ }\)で\(\small{ \ a_1 \lt a_2 \ }\)に反するので
\(\small{ \ \therefore r=4、a_1=2 \ }\)

point
これを見てわかると思うけど、等差数列のときと同じで、一番重要な一般項を求めるには初項と公比を求める必要がある。

つまり未知数が二つあるから、初項と公比を未知数とする連立方程式を題意から作らないといけないってことがわかるよね。

それさえ分かっていれば等比数列も一般項なんて簡単に求めることができるよ。

Point 等比数列と等比数列の和

①等比数列は初項と公比を求めよう。
②初項と公比の二つ値は連立方程式で求めよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

第\(\small{ \ 3 \ }\)項が\(\small{ \ 6 \ }\)、第\(\small{ \ 6 \ }\)項が\(\small{ \ 162 \ }\)を満たす等比数列の初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和を\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)とするとき、\(\small{ \ \mathrm{S}_n \gt 3333333 \ }\)を満たす最小の\(\small{ \ n \ }\)を求めよ。ただし、\(\small{ \ \log_{10}3=0.4771 \ }\)とする。

初項を\(\small{ \ a_1 \ }\)、公比を\(\small{ \ r \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}a_1r^2=6\\
a_1r^5=162
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a_1=\displaystyle \frac{2}{3}、r=3 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=2\cdot 3^{n-2} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{3^n-1}{3-1}=\displaystyle \frac{3^n-1}{3} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}_n \gt 3333333 \ }\)より
\(\small{ \ 3^n-1 \gt 9999999 \ }\)
\(\small{ \ 3^n \gt 10000000=10^7 \ }\)
\(\small{ \ \log_{10}3^n \gt \log_{10}10^7 \ }\)
\(\small{ \ \therefore n\log_{10}3 \gt 7 \ }\)
\(\small{ \ \therefore n \gt\displaystyle \frac{7}{0.4771}=14.6\cdots \ }\)
よってこれを満たす最小の自然数\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 15 \ }\)

point
指数不等式は\(\small{ \ 2^x\gt 32 \ }\)のような簡単な式なら対数を利用しなくても計算できる。

だけど、等比数列の和がある値よりも大きくなるというような問題の場合は、対数を利用して不等式を解くこともあるから、対数を利用した不等式もきちんと解けるように勉強しておこう。

でも常用対数(底が\(\small{ \ 10 \ }\)の対数)を利用して\(\small{ \ 3^n-1 \gt 10^7 \ }\)などの式を解くこともあるけど、\(\small{ \ 3^n \gt 10000001\ }\)を対数を用いて解くのはかなり大変だから\(\small{ \ 3^n \gt 10000000 \ }\)として解いていくこともある。

だって\(\small{ \ n \ }\)は自然数だから\(\small{ \ 10000001 \ }\)を\(\small{ \ 10000000 \ }\)としても求める答えは変わらないよね。

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