等比数列の和と貯金

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は等比数列を利用した貯金について学習していこう。

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複利計算の貯金と等比数列の和

今回勉強するのは複利計算を利用した貯金で、これは貯金額の合計を等比数列の和の形で表すことができるんだ。

複利とは元金と利息を合計して利率をかける方法で、元金だけではなく、お金を預けることによって得た利息にもさらに利息がついていく計算方法なんだ。

年利iの銀行にA円預けていた単利と複利の貯金

①単利による貯金の計算

期間 元金 利息 合計
1年後 A円 A\(\small{ \ i \ }\)円 A(\(\small{ \ 1+i \ }\))円
2年後 A円 A\(\small{ \ i \ }\)円 A(\(\small{ \ 1+2i \ }\))円
3年後 A円 A\(\small{ \ i \ }\)円 A(\(\small{ \ 1+3i \ }\))円
\(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)年後 A円 A\(\small{ \ i \ }\)円 A(\(\small{ \ 1+ni \ }\))円

②複利による貯金の計算

期間 元金 利息 合計
1年後 A円 A\(\small{ \ i \ }\)円 A(\(\small{ \ 1+i \ }\))円
2年後 A(\(\small{ \ 1+i \ }\))円 A\(\small{ \ (1+i)i \ }\) A\(\small{ \ (1+i)^2 \ }\)
3年後 A\(\small{ \ (1+i)^2 \ }\) A\(\small{ \ (1+i)^2i \ }\) A\(\small{ \ (1+i)^3 \ }\)
\(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\) \(\small{ \ \vdots \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)年後 A\(\small{ \ (1+i)^{n-1} \ }\) A\(\small{ \ (1+i)^{n-1}i \ }\) A\(\small{ \ (1+i)^n \ }\)

複利を利用した貯金の計算

複利では元金と利息を合計して利率をかけていくから、元金だけじゃなくてお金を預けることによって得た利息にもさらに利息がついていく

だから各期間の利息が次第に増加していくから、雪だるま式に利息が増えていくことになるんだ。

例えば\(\small{ \ 10000 \ }\)円預けて\(\small{ \ 1 \ }\)年で\(\small{ \ 2 \ }\)%利息がつく場合、\(\small{ \ 1 \ }\)年経つと貯金額は\(\small{ \ 10000+(10000×0.02)=10200 \ }\)円になり、\(\small{ \ 10000 \ }\)円(元金)と\(\small{ \ 200 \ }\)円(利息)の和になる。

次の年は元金が\(\small{ \ 10200 \ }\)円になっているから、さらに\(\small{ \ 1 \ }\)年たつと元利合計に年\(\small{ \ 2 \ }\)%の利息がつくから、\(\small{ \ 2 \ }\)年経つと貯金額は\(\small{ \ 10200+(10200×0.02)=10404 \ }\)円になって、\(\small{ \ 10200 \ }\)円(元金)と\(\small{ \ 204 \ }\)円(\(\small{ \ 2 \ }\)年目の利息)の和になるんだ。
元金+元金×利率=次の年の元金になる。これが年利率を\(\small{ \ 2 \ }\)%の複利の計算法だ。

単利を利用した貯金の計算

また複利とは別で単利と言う計算法もある。

これは元金にだけ利息がつく計算法になる。

例えば\(\small{ \ 10000 \ }\)円預けて\(\small{ \ 1 \ }\)年で\(\small{ \ 2 \ }\)%利息がつく場合、\(\small{ \ 1 \ }\)年経つと\(\small{ \ 10000+(10000×0.02)=10200 \ }\)円になって、\(\small{ \ 10000 \ }\)円(元金)と\(\small{ \ 200 \ }\)円(利息)の和になる。

さらに\(\small{ \ 1 \ }\)年たつと、元金\(\small{ \ 10000 \ }\)円だけ年\(\small{ \ 2 \ }\)%の利息がつくから、\(\small{ \ 2 \ }\)年経つと\(\small{ \ 10200+(10000×0.02)=10400 \ }\)円になって\(\small{ \ 10200 \ }\)円(前年の預金額)と\(\small{ \ 200 \ }\)円(今年の利息)の和になるんだ。

毎年、元金×利率の一定額が利息として増えていく

これが年利率を\(\small{ \ 2 \ }\)%の単利の計算法なんだ。

例題を確認
問題解答

毎年はじめに\(\small{ \ a \ }\)円積み立てるとき、第\(\small{ \ n \ }\)年末に元利合計はいくらになるか?ただし、年利は\(\small{ \ i \ }\)とし、\(\small{ \ 1 \ }\)年ごとの複利とする。

\(\small{ \ 1 \ }\)年目に預けた\(\small{ \ a \ }\)円は\(\small{ \ n \ }\)年後に\(\small{ \ a(1+i)^n \ }\)円に、\(\small{ \ 2 \ }\)年目に預けた\(\small{ \ a \ }\)円は\(\small{ \ a(1+i)^{n-1} \ }\)円になる。このことから求める値は次のようになる。
\(\small{ \ \begin{eqnarray}& &a(1+i)^n+a(1+i)^{n-1}+\cdots+a(1+i)\\
&=&a(1+i)\displaystyle \frac{(1+i)^n-1}{(1+i)-1}\\
&=&\displaystyle \frac{a(1+i)\{(1+i)^n-1\}}{i}\end{eqnarray} \ }\)

point
毎年初めに一定額を積み立てる貯金の問題の場合、\(\small{ \ n \ }\)年末時点の貯金額を聞く問題がほとんどだから、最後に貯金した\(\small{ \ a \ }\)円も\(\small{ \ a(1+i) \ }\)円になっているよね。

初項に注意して、等比数列の和を利用しよう。

Point 等比数列の和と貯金

①複利による貯金は等比数列の和を利用
②元利合計を求めるときは初項に注意しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

預金や借入金で、毎期ごとに利子を元金に組入れる利子のつき方を複利という。例えば年利率\(\small{ \ 1 \ }\)%、\(\small{ \ 1 \ }\)年ごとの複利で、毎年\(\small{ \ 1 \ }\)万円ずつ積み立てるとき、元利合計は次のようになる。

時期 1年目期首 1年目期末 2年目期首 2年目期末 3年目期首 \(\small{ \ \cdots \ }\)
元利合計 10000 10100 20100 20301 30301 \(\small{ \ \cdots \ }\)

年利率\(\small{ \ 25 \ }\)%、\(\small{ \ 1 \ }\)年ごとの複利で毎年はじめに\(\small{ \ 20 \ }\)万円ずつ預金したとき、\(\small{ \ 10 \ }\)年目の期末における元利合計はいくらになるかを求めよ。ただし\(\small{ \ 1.25^{10}=9.313226 \ }\)とする。

\(\small{ \ 10 \ }\)年目の期末における元利合計は

\(\small{ \ 20(1+0.25)^{10}+20(1+0.25)^9+\cdots+20(1+0.25) \ }\)

\(\small{ \ \begin{eqnarray}&=&20\times\displaystyle \frac{1.25(1.25^{10}-1)}{1.25-1}\\
&=&20\times5 \times (9.313226-1)\\
&=&831.3226 \end{eqnarray}\ }\)
\(\small{ \ \therefore 8313226 \ }\)円

等比数列の和を利用する問題には貯金と反対の借金の返済の問題もあるから合わせて確認しておこう。

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