等差数列と等比数列の積の和

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は等差数列×等比数列の和について学習していこう。

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一般項に\(\small{ \ n \ }\)の一次式と\(\small{ \ n \ }\)乗の式

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot2^k \ }\)を見たら\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\cdot\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{2-1} \ }\)ってやりたくなるけど、全然違うからね。\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\cdot\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{2-1} \ }\)は\(\small{ \ (1+2+\cdots+n)(2+4+8+\cdots+2^n) \ }\)だもんね。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } k\cdot2^k=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n \ }\)

だから左側の数列×右側の数列になっていて、等差数列×等比数列になっているんだ。

等差数列×等比数列の和

交差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列\(\small{ \ a_n \ }\)と公比\(\small{ \ r \ }\)の等比数列\(\small{ \ b_n \ }\)の積の和

\(\small{\begin{eqnarray}
\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&a_2b_2+a_3b_3+\cdots&+&a_nb_n \\
-) r\mathrm{S}_n&=& & &a_1b_2+a_2b_3+\cdots&+&a_{n-1}b_n&+&a_nb_{n+1}\\
\hline
(1-r)\mathrm{S}_n&=&a_1b_1&+&d(b_2+b_3+b_4\cdots&+&b_n)&-&a_nb_{n+1} \\
&=&a_1b_1&+&d\cdot\displaystyle \frac{b_2(r^{n-1}-1)}{r-1}&-&a_nb_{n+1}\end{eqnarray}}\)

特に\(\small{ \ \underbrace{b_2+b_3+b_4\cdots+b_n}_{n-1項} \ }\)の項数に注意。

\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)に公比をかけて\(\small{ \ \mathrm{S}_n-r\mathrm{S}_n \ }\)を計算するんだけど、このポイントは等比数列に公比をかけて\(\small{ \ b_1 \ }\)を\(\small{ \ b_2 \ }\)に、\(\small{ \ b_2 \ }\)を\(\small{ \ b_3 \ }\)に、\(\small{ \ \cdots \ }\)、\(\small{ \ b_n \ }\)を\(\small{ \ b_{n+1} \ }\)と等比数列の項を全て一つずらすことなんだ。すると上のように\(\small{ \ r\mathrm{S}_n \ }\)を一つ右にずらして\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)から差し引くことで等比数列ができるから、その和を求めて\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を導き出そう。

等比数列に公比をかけよう

等比数列に公比をかけた\(\small{ \ r\mathrm{S}_n \ }\)を\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)からズラしてうまく引き算し、等比数列の和の問題に帰着させよう。ただし、最終的な答えを出すのに、とても計算が複雑になるからミスしないように注意してね。答えに\(\small{ \ n=1 \ }\)や\(\small{ \ n=2 \ }\)を代入して合っているかチェックも行うようにしよう。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (pk+q)\cdot r^k \ }\)

とにかくこの解法が使えるのは等差数列と等比数列の積の和だから、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の後ろに並ぶのは等差数列は\(\small{ \ k \ }\)の一次関数、等比数列は\(\small{ \ k \ }\)の指数関数の形になっていること。\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)だけで書いてあってもしっかりと答えられるように知識として身につけておこう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n }(3k-2)x^{k-1} \ }\)を求めよ。

\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (3k-2)x^{k-1} \ }\)とすると

\(\small{\begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&1&+&4x+7x^2+\cdots&+&(3n-2)x^{n-1}\\
-)x\mathrm{S}_n&=& & &\hspace{ 4pt }x+4x^2+\cdots&+&(3k-5)x^{n-1}&+&(3n-2)x^n\\
\hline
(1-x)\mathrm{S}_n&=&1&+&3x+3x^2+\cdots&+&3x^{n-1}&-&(3n-2)x^n\\
&=&1&+&\displaystyle \frac{3x(x^{n-1}-1)}{x-1}&-&(3n-2)x^n&&\end{eqnarray} }\)

よって\(\small{ \ x\neq1 \ }\)のとき

\(\small{ \ \therefore \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2} \ }\)

\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (3k-2)=\displaystyle \frac{1}{2}n(3n-1) \ }\)

point
理系で数Ⅲまで受験に必要な人は

\(\small{ \ f(x)=x+x^2+x^3+\cdots+x^n=\displaystyle \frac{x(1-x^n)}{1-x} \ }\)

を微分して

\(\small{ \ f'(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\displaystyle \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \ }\)

が導けることも知っておこう。

Point

①等比数列に公比をかけてズラして引き算しよう
②出た答えに\(\small{ \ n=1 \ }\)や\(\small{ \ n=2 \ }\)を代入してチェックしよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

自然数\(\small{ \ n \ }\)に対して、\(\small{ \ 3^n-\displaystyle \frac{1}{3^n} \ }\)と\(\small{ \ 3^{n+1}-\displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} \ }\)の間にある整数の個数を\(\small{ \ a_n \ }\)とするとき、次の問いに答えよ。
(1\(\small{ \ )a_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(2)\(\small{ \ \mathrm{S}_n= \displaystyle \frac{1}{a_1}+ \displaystyle \frac{2}{a_2}+ \displaystyle \frac{3}{a_3}+\cdots+ \displaystyle \frac{n}{a_n} \ }\)を求めよ。

(1)\(\small{ \ 0 \lt \displaystyle \frac{1}{3^n} \lt 1 \ }\)、\(\small{ \ 0 \lt \displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} \lt 1 \ }\)より、\(\small{ \ a_n=3^{n+1}-1-(3^n-1)=2\cdot3^n \ }\)
(2)

\(\small{\begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{ \displaystyle \frac{1}{3}+2\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2+3\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right\} \\
-)\displaystyle \frac{1}{3}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\hspace{ 18pt }1\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2+2\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3+\cdots+(n-1)\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n+n\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\right\} \\
\hline
\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{ \displaystyle \frac{1}{3}+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n-n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\right\}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}\left\{1-\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right\}-\displaystyle \frac{1}{2}n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^{n+1}\end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \therefore \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{3}{8}\left\{1-\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n\right\}-\displaystyle \frac{1}{4}n\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^n \ }\)

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