直線の方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は直線の方程式について学習していこう。

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全ての直線を表す方程式

中学生のとき教わった直線の方程式(1次関数)\(\small{ \ y=mx+n \ }\)ってあったよね。 \(\small{ m \ }\)が傾きで、\(\small{n \ }\)が\(\small{ \ y \ }\)切片ってやつ。今でもこの式を利用して問題を解いている人がほとんどだと思うけど、この直線の方程式が全ての直線を表すことが出来るかというとそうとは言えない。
なぜかって言うと \(\small{ \ m \ }\)と、\(\small{ n \ }\)に色々な数字を代入しても\(\small{ \ x=c \ }\)という\(\small{ \ y \ }\)軸に平行な直線を表すことは出来ないからね。だから直線をおくときは、全ての直線を表すことができる\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)を利用すればいいんだけど、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)に比べると文字多くて嫌になるよね。だからとりあえず\(\small{ \ y=mx+n \ }\)として、これとは別で\(\small{ \ x=p \ }\)を考えてあげればいいんだ。
ちなみに\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)の形だと傾きや\(\small{ \ y \ }\)切片がすぐにはわからないから、いつも\(\small{ \ y=ax+b \ }\)の形に変形して、傾きや\(\small{ \ y \ }\)切片を求めよう。

直線の方程式

・直線の方程式
 \(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)または\(\small{ \ y=mx+n、x=p \ }\)
・傾き\(\small{ \ m \ }\)で\(\small{ \ (a、b) \ }\)を通る直線
 \(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)
・\(\small{ \ (x_1、y_1、)(x_2、y_2) \ }\)を通る直線
 (1)\(\small{ \ x_1\neq x_2 \ }\)のとき
  \(\small{ \ y=\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \ }\)
 (2)\(\small{ \ x_1=x_2 \ }\)のとき
  \(\small{ \ x=x_1 \ }\)

いろいろな形があるけど、1番利用するのは\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)かな。
中学生みたいに傾き\(\small{ \ 2 \ }\)だから、\(\small{ \ y=2x+b \ }\)
\(\small{ \ (1、3) \ }\)を通るから代入して\(\small{ \ b \ }\)を求めて〜、みたいなことはせずに\(\small{ \ y=2(x-1)+3=2x+1 \ }\)とすぐに出せるようにしておこう。
教科書に書いてあるような\(\small{ \ y-b=m(x-a) \ }\)だと移行する手間があるから、あらかじめ\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)で覚えてるほうがいいよね。

傾きと切片

直線は傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を式から簡単に求めることができるから、傾きと切片に注目しよう。まずはこれが1番大事。傾きが正の直線と負の直線だと全然違うからね。\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)の場合も傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片がはっきりしていないと図が書きにくいから、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の形に変形して、傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を確認して図を書こう。

例題を確認
問題解答

次の直線の方程式を求めよ。
(1)\(\small{ \ (2、3) \ }\)を通り\(\small{ \ x \ }\)軸に垂直な直線
(2)\(\small{ \ (2、5)、(4、9) \ }\)を通る直線

(1)\(\small{ \ (2、3) \ }\)を通り\(\small{ \ x \ }\)軸に垂直な直線は\(\small{ \ x=2 \ }\)

直線の方程式-01

(2)\(\small{ \ (2、5)、(4、9) \ }\)を通るので
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\displaystyle \frac{9-5}{4-2}(x-2)+5\\
&=&2x+1 \ \end{eqnarray}}\)

直線の方程式-02

point
今回が学習している単元は図形と方程式って名前の通り、求めた方程式を図に素早く書けることが重要。直線が3本あれば三角形が、4本あれば四角形が書けるから、簡単な問題こそ図を素早く書けるように練習しておこう。

Point

①直線の方程式は傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を求めよう
②図を素早く書けるようにしておこう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

関数\(\small{ \ f(x)=-|2x-1|+1(0\leqq x \leqq1) \ }\)を用いて
\(\small{ \ g(x)=-|2f(x)-1|+1(0\leqq x \leqq1) \ }\)を考える。
\(\small{ \ y=g(x) \ }\)のグラフをかけ。

\(\small{ \ f(x)=-|2x-1|+1 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|2(-|2x-1|+1)-1|+1\\
&=&-|-2|2x-1|+1|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(i)\(\small{ \ 0\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|2(2x-1)+1|+1\\
&=&-|4x-1|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(a)\(\small{ \ 0\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{4} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=(4x-1)+1=4x \ }\)
(b)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{4}\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=-(4x-1)+1=-4x+2 \ }\)
(ii)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\leqq 1 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|-2(2x-1)-1|+1\\
&=&-|-4x+3|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(c)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\lt \displaystyle \frac{3}{4} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=-(-4x+3)+1=4x-2 \ }\)
(d)\(\small{ \ \displaystyle \frac{3}{4}\leqq x\leqq 1 \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=(-4x+3)+1=-4x+4 \ }\)

直線の方程式-03

point
絶対値があるだけで計算量が倍になるから、絶対値を含む問題の場合は、しっかりと場合分けを行って丁寧に計算をしよう。

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  数学II, 図形と方程式

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