和記号Σの証明

数学B 数列

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はいろいろな和記号\(\small{ \ \displaystyle \sum \ }\)の証明について学習していこう。

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和記号Σの証明

和記号Σ

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=\displaystyle \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=1+2+\cdots+n \ }\)として、これを逆から書いた
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n+\cdots+2+1 \ }\)を加えるとどの項も\(\small{ \ n+1 \ }\)になるよね。

\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&=&1&+&2&+&\cdots&+&n\\
&+)&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&=&n&+&(n-1)&+&\cdots&+&1\\
\hline
& 2&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&=&(n+1)&+&(n+1)&+&\cdots&+&(n+1)\end{eqnarray} }\)

これを整理して
\(\small{ \ 2\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=n(n+1) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^3&-&\hspace{ 10pt }n^3&=&3n^2&+&3n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^3&-&(n-1)^3&=&3(n-1)^2&+&3(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^3&-&(n-2)^3&=&3(n-2)^2&+&3(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^3&-&\hspace{ 10pt }2^3&=&3\cdot2^2&+&3\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^3&-&\hspace{ 10pt }1^3&=&3\cdot1^2&+&3\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^3&-&\hspace{ 10pt }1&=&3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1 \end{eqnarray}\ }\)

これを整理して
\(\small{ \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=n^3+3n^2+3n-3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&=&(n+1)^3-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)-n-1\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }n^4&=&4n^3&+&6n^2&+&4n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^4&-&(n-1)^4&=&4(n-1)^3&+&6(n-1)^2&+&4(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^4&-&(n-2)^4&=&4(n-2)^3&+&6(n-2)^2&+&4(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & & & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^4&-&\hspace{ 10pt }2^4&=&4\cdot2^3&+&6\cdot2^2&+&4\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^4&-&\hspace{ 10pt }1^4&=&4\cdot2^3&+&6\cdot1^2&+&4\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }1&=&4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3&+&6\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1\end{eqnarray}}\)

これを整理して

\(\small{ \ 4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=(n+1)^4-6\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2-4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1-1 \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{ \ 4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=n^2(n+1)^2 \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^5&-&\hspace{ 10pt }n^5&=&5n^4&+&10n^3&+&10n^2&+&5n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^5&-&(n-1)^5&=&5(n-1)^4&+&10(n-1)^3&+&10(n-1)^2&+&5(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^5&-&(n-2)^5&=&5(n-2)^4&+&10(n-2)^3&+&10(n-2)^2&+&5(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & && & & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^5&-&\hspace{ 10pt }2^5&=&5\cdot2^4&+&10\cdot2^3&+&10\cdot2^2&+&5\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^4&-&\hspace{ 10pt }1^4&=&5\cdot1^4&+&10\cdot1^3&+&10\cdot1^2&+&5\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }1&=&5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4&+&10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3&+&10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1\end{eqnarray}}\)

これを整理して

\(\small{ \ 5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=(n+1)^5-10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3-10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2-5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1-1\ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より

\(\small{ \ 5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)

よって

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=\displaystyle \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)

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