三角関数の合成と和積の公式を利用した三角方程式不等式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角関数の合成と和積の公式を利用した三角方程式不等式について学習していこう。

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三角方程式・三角不等式と合成・和積の公式

今回は三角方程式・三角不等式を合成や和積の公式を利用して解いていくんだけど、まずは三角方程式不等式基本の解き方をきちんと確認しておこう。

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その上でさらにどんなパターンの問題で合成を使い、どんなパターンで和積・積和を利用するのか確認しながら問題を解いていこう。

三角関数の合成や和積の公式を利用した三角方程式不等式

三角関数の合成
\(\small{ \ a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right) \ }\)
ただし、\(\small{ \ \cos\alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)、\(\small{ \ \sin\alpha=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \ }\)

・和積の公式
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)

三角関数の合成と三角方程式不等式

以前学習した三角方程式や三角不等式では\(\small{ \ \sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\geqq\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)のような問題を学習したけど、この左辺がすでに合成を利用した形になってるんだ。

だから\(\small{ \ a\sin\theta+b\cos\theta\leqq c \ }\)を\(\small{ \ r\sin\left(\theta+\alpha\right)\leqq c \ }\)の形に変形することができれば答えを出すことができるんだ。

合成がうまくできない人はもう一度合成について確認しておこう。

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合成は、\(\small{ \ \sin \ }\)と\(\small{ \ \cos \ }\)の係数が同じでも違っても構わないから\(\small{ \ \sin \ }\)と\(\small{ \ \cos \ }\)の偏角が同じものの和と差で利用することができる。
つまり\(\small{ \ a\sin\theta+b\cos\theta \ }\)や\(\small{ \ p\sin2\theta+q\cos2\theta \ }\)のような形のとき使うからね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq x \lt 2\pi \ }\)のとき、次の方程式・不等式を解け。
(1)\(\small{ \ \sin x-\cos x=1 \ }\)
(2)\(\small{ \ \sin2x-\sqrt{3}\cos2x\gt -1 \ }\)

(1)
\(\small{ \ \sin x-\cos x=1 \ }\)
\(\small{ \ \sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)=1 \ }\)
\(\small{ \ \sqrt{2}\sin\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1 \ }\)
\(\small{ \ \sin\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \ }\)
\(\small{ \ t=x-\displaystyle\frac{\pi}{4} \ }\)とすると
\(\small{ \ -\displaystyle\frac{\pi}{4}\leqq t \lt \displaystyle\frac{7}{4}\pi \ }\)より
\(\small{ \ \sin t =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{\pi}{4}, \ \displaystyle\frac{3}{4}\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \pi \ }\)

(2)\(\small{ \ \sin2x-\sqrt{3}\cos2x\gt -1 \ }\)
\(\small{ \ 2\left(\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x\right)\gt -1 \ }\)
\(\small{ \ 2\sin\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\gt -1 \ }\)
\(\small{ \ \sin\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\gt -\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ t=2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} \ }\)とすると
\(\small{ \ -\displaystyle\frac{\pi}{3}\leqq t \lt \displaystyle\frac{11}{3}\pi \ }\)より
\(\small{ \ \sin t \gt-\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ -\displaystyle\frac{\pi}{6}\lt t \lt \displaystyle\frac{7}{6}\pi, \ \displaystyle\frac{11}{6}\pi \lt t \lt \displaystyle\frac{19}{6}\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{\pi}{12}\lt x \lt \displaystyle\frac{3}{4}\pi, \ \displaystyle\frac{13}{12}\pi \lt x \lt\displaystyle\frac{21}{12}\pi \ }\)

point
三角方程式なら\(\small{ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \ }\)を利用することでも答えを導くことは出来るけど、\(\small{ \ \sin \ }\)と\(\small{ \ \cos \ }\)の偏角が同じものの和と差は合成するって覚えておこう。

和積の公式と三角方程式・不等式

和積の公式は合成とは異なり\(\small{ \ \sin \ }\)同士や\(\small{ \ \cos \ }\)同士の偏角が異なるものの和や差を積の形に変える公式だよね。

あまり利用する機会がなくて忘れがちな公式だけど方程式不等式を解くためには重要だから、確実に押さえておこう。

忘れそうならとりあえず公式の作り方を覚えておいてもいいよ。加法定理を利用すれば簡単に作ることが出来るからね。

和積の公式を利用することで和の形を積の形に変形できて\(\small{ \ AB=0 \ }\)なら\(\small{ \ A=0, \ B=0 \ }\)を解けばいいし、\(\small{ \ AB\gt0 \ }\)なら\(\small{ \ A\gt0, \ B\gt0 \ }\)または\(\small{ \ A\lt0, \ B\lt0 \ }\)を解けばいいんだ。

この公式を利用する上で重要な点は、\(\small{ \ \sin \ }\)同士や\(\small{ \ \cos \ }\)同士の偏角が異なるものの和や差を積の形に変えるんだけど、この、\(\small{ \ \sin \ }\)同士や\(\small{ \ \cos \ }\)同士の係数は同じじゃないといけないってことなんだ。

①\(\small{ \ \sin x+ \sin 3x \ }\)
②\(\small{ \ 2\cos2x-2\cos3x \ }\)
③\(\small{ \ \sin2x+\cos3x \ }\)
④\(\small{ \ 2\sin2x+3\sin3x \ }\)

つまり①②は\(\small{ \ \sin \ }\)同士、\(\small{ \ \cos \ }\)同士係数のそろった偏角の異なる和や差だから積の形にできるけど、③は\(\small{ \ \sin \ }\)同士、\(\small{ \ \cos \ }\)同士じゃないし、④は\(\small{ \ \sin \ }\)同士だけど係数が異なるから和積の公式が使えないんだ。

まずは和積の公式を利用できる形を確認しておこう。

例題を確認
問題解答

次の方程式・不等式を解け。
(1)\(\small{ \ 0\leqq x \lt 2\pi \ }\)のとき\(\small{ \ \cos x+\cos3x=0 \ }\)
(2)\(\small{ \ 0\leqq x \lt \displaystyle\frac{\pi}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \cos x+\cos3x+\cos5x\lt0 \ }\)

(1)\(\small{ \ \cos 3x+\cos x=0 \ }\)
\(\small{ \ 2\cos\displaystyle\frac{3x+x}{2}\cos\displaystyle\frac{3x-x}{2}=0 \ }\)
\(\small{ \ 2\cos2x\cos x=0 \ }\)
\(\small{ \ \cos2x=0, \ \cos x=0 \ }\)
\(\small{ \ \cos2x=0 \ }\)より
\(\small{ \ 2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \displaystyle\frac{3}{2}\pi, \ \displaystyle\frac{5}{2}\pi, \ \displaystyle\frac{7}{2}\pi \ }\)
\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{\pi}{4}, \ \displaystyle\frac{3}{4}\pi, \ \displaystyle\frac{5}{4}\pi, \ \displaystyle\frac{7}{4}\pi \ }\)
\(\small{ \ \cos x=0 \ }\)より
\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \displaystyle\frac{3}{2}\pi \ }\)
よって\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{\pi}{4},\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ \displaystyle\frac{3}{4}\pi, \ \displaystyle\frac{3}{2}\pi,\displaystyle\frac{5}{4}\pi, \ \displaystyle\frac{7}{4}\pi \ }\)

(2)\(\small{ \ \cos x+\cos3x+\cos5x\lt0 \ }\)
\(\small{ \ \cos 5x+\cos3x+\cos x\lt0 \ }\)
\(\small{ \ 2\cos\displaystyle\frac{5x+3x}{2}\cos\displaystyle\frac{5x-3x}{2}+\cos x\lt 0 \ }\)
\(\small{ \ 2\cos4x\cos x+\cos x \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ \cos x\left(2\cos4x+1\right) \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ 0\leqq x \lt \displaystyle\frac{\pi}{2} \ }\)より\(\small{ \ \cos x \gt 0 \ }\)
よって\(\small{ \ 2\cos4x+1 \lt 0 \ }\)であればよい
\(\small{ \ 2\cos4x+1 \lt 0 \ }\)より\(\small{ \ \displaystyle\frac{2}{3}\pi \lt 4x \lt \displaystyle\frac{4}{3}\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{\pi}{6}\lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{3} \ }\)

point
和積の公式を使うとき\(\small{ \ \cos x+\cos 3x \ }\)を\(\small{ \ \cos 3x+\cos x \ }\)のように偏角の大きいものを前にしてから積の形に変形しよう。そうすることで偏角がマイナスになることがないからね。偏角がマイナスになると\(\small{ \ \sin\left(-\theta\right)=-\sin\theta \ }\)だし\(\small{ \ \cos\left(-\theta\right)=\cos\theta \ }\)だから、前にマイナスを付けたり付けなかったりってなってミスが出やすくなるからね。

Point 三角関数の合成と和積の公式を利用した三角方程式不等式

①係数に関わらず偏角が同じ\(\small{ \ \sin \ }\)と\(\small{ \ \cos \ }\)の和差は合成を利用
②係数が同じで偏角が異なる\(\small{ \ \sin \ }\)同士、\(\small{ \ \cos \ }\)同士は和積の公式を利用

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