和積の公式と積和の公式の求め方

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は和積の公式と積和の公式の求め方について学習していこう。

和積の公式と積和の公式

公式を求めるための準備：加法定理の利用

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
+) \ \sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\hline
\sin\left(\alpha+\beta\right)&+& \sin\left(\alpha-\beta\right)=2\sin\alpha\cos\beta\cdots① \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
-) \ \sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\hline
\sin\left(\alpha+\beta\right)&-& \sin\left(\alpha-\beta\right)=2\cos\alpha\sin\beta\cdots② \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
+) \ \cos\left(\alpha-\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\hline
\cos\left(\alpha+\beta\right)&+& \cos\left(\alpha-\beta\right)=2\cos\alpha\cos\beta\cdots③ \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
-) \ \cos\left(\alpha-\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\hline
\cos\left(\alpha+\beta\right)&-& \cos\left(\alpha-\beta\right)=-2\sin\alpha\sin\beta\cdots④ \ \end{eqnarray}}\)

和積の公式の求め方

\(\small{ \ \alpha+\beta=\mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \alpha-\beta=\mathrm{B} \ }\)とする。
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\alpha+\beta=\mathrm{A} \\
\alpha-\beta=\mathrm{B}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ \alpha=\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}, \ \beta=\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
これを上で求めた①〜④の式に代入すると
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)

和積の公式は三角方程式や不等式で利用することが多い。角(\(\small{ \ \theta, \ 2\theta, \ 3\theta \ }\)など)が違う三角関数の和や差は積の形に変形できることも頭に入れておこう。

積和の公式の求め方

上で求めた①〜④の式の両辺を\(\small{ \ 2 \ }\)で割る。
\(\small{ \ \sin\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)

積の形を和の形に変形するのは定期試験で出題されるけど、入試だと数学Ⅲの積分でよく利用するからね。それ以外では実はあまり見かけることが少ないんだ。
だから公式を覚えたつもりでも、滅多に使うことがないからいつの間にかプラスやマイナスがあやふやになって、きちんと覚えられていないって人も多い。
だから公式を暗記するだけじゃなく、この加法定理を利用した求め方もきちんと覚えておこう。