和積の公式と積和の公式の求め方

数学Ⅱ 加法定理

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は和積の公式と積和の公式の求め方について学習していこう。

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和積の公式と積和の公式

和積の公式と積和の公式

・和積の公式
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)

・積和の公式
\(\small{ \ \sin\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)

公式を求めるための準備:加法定理の利用

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
+) \ \sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\hline
\sin\left(\alpha+\beta\right)&+& \sin\left(\alpha-\beta\right)=2\sin\alpha\cos\beta\cdots① \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin\left(\alpha+\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\
-) \ \sin\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\
\hline
\sin\left(\alpha+\beta\right)&-& \sin\left(\alpha-\beta\right)=2\cos\alpha\sin\beta\cdots② \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
+) \ \cos\left(\alpha-\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\hline
\cos\left(\alpha+\beta\right)&+& \cos\left(\alpha-\beta\right)=2\cos\alpha\cos\beta\cdots③ \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\
-) \ \cos\left(\alpha-\beta\right)&=&\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \\
\hline
\cos\left(\alpha+\beta\right)&-& \cos\left(\alpha-\beta\right)=-2\sin\alpha\sin\beta\cdots④ \ \end{eqnarray}}\)

和積の公式の求め方

\(\small{ \ \alpha+\beta=\mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \alpha-\beta=\mathrm{B} \ }\)とする。
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\alpha+\beta=\mathrm{A} \\
\alpha-\beta=\mathrm{B}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ \alpha=\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}, \ \beta=\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
これを上で求めた①〜④の式に代入すると
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin \mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos \mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\displaystyle \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} \ }\)

point
和積の公式は三角方程式や不等式で利用することが多い。角(\(\small{ \ \theta, \ 2\theta, \ 3\theta \ }\)など)が違う三角関数の和や差は積の形に変形できることも頭に入れておこう。

積和の公式の求め方

上で求めた①〜④の式の両辺を\(\small{ \ 2 \ }\)で割る。
\(\small{ \ \sin\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \cos\alpha\cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)
\(\small{ \ \sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} \ }\)

point
積の形を和の形に変形するのは定期試験で出題されるけど、入試だと数学Ⅲの積分でよく利用するからね。それ以外では実はあまり見かけることが少ないんだ。
だから公式を覚えたつもりでも、滅多に使うことがないからいつの間にかプラスやマイナスがあやふやになって、きちんと覚えられていないって人も多い。
だから公式を暗記するだけじゃなく、この加法定理を利用した求め方もきちんと覚えておこう。

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