約数の個数と約数の総和

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は約数の個数と約数の総和について学習していこう。

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約数の個数と約数の総和

約数の個数や約数の総和の求め方は公式として覚えておこう。問題として出てきたときに「知らなかった」じゃすまないからね。

約数の個数と約数の総和

自然数\(\small{ \ n=2^a\times3^b\times5^c \ }\)の正の約数について
約数の個数
\(\small{ \ (a+1)(b+1)(c+1) \ }\)個

約数の総和

\(\small{ \ (2^0+2^1+2^2+\cdots+2^a)(3^0+3^1+3^2+\cdots+3^b)(5^0+5^1+5^2+\cdots+5^c) \ }\)

ただし\(\small{ \ a^0=1 \ }\)

約数と素因数分解

ある自然数の約数の個数や総和を求める場合は、まずその自然数を素因数分解しよう。
素因数分解素数でその数を割っていけばいいよね。

例えば\(\small{ \ 60 \ }\)の場合
\(\small{\begin{eqnarray}2\underline{) \ \ 60 \ \ }\\
2\underline{) \ \ 30 \ \ }\\
3\underline{) \ \ 15 \ \ }\\
\ \ \ \ \ \ \ 5 \ \end{eqnarray}}\)
になるから\(\small{ \ 60=2^2\times3\times5 \ }\)になるよね。

この素因数分解をミスしたら、約数の個数も総和も全然違う答えになるからしっかりと計算しよう。

約数の個数の公式

自然数を素因数分解したら、約数の個数は簡単に求めることが出来る。
\(\small{ \ 60 \ }\)の約数の個数を考えてみよう。
\(\small{ \ 60=2^2\times3\times5 \ }\)の約数は下の各括弧の中から一つ選んだ数をかけたものになるんだ。
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
2^0 \\
2^1 \\
2^2
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
3^0 \\
3^1
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
5^0 \\
5^1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \ }\)
だから約数の個数は括弧の中の個数を掛け合わせた数になるから\(\small{ \ 60 \ }\)の場合、\(\small{ \ 3\times2\times2=12 \ }\)個になる。

これを一般化してみよう。自然数\(\small{ \ n \ }\)が\(\small{ \ n=2^a\times3^b\times5^c\times7^d \ }\)と因数分解できるとき、その約数は各括弧の中から一つ選んだ数をかけたものになるから
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
2^0 \\
2^1 \\
2^2 \\
\vdots\\
2^a
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
3^0 \\
3^1 \\
3^2 \\
\vdots\\
3^b
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
5^0 \\
5^1 \\
5^2 \\
\vdots\\
5^c
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
7^0 \\
7^1 \\
7^2 \\
\vdots\\
7^d
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \ }\)
約数の個数は\(\small{ \ (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) \ }\)個になる。

つまり自然数を素因数分解したときの指数に\(\small{ \ 1 \ }\)を加えたものを掛けることで約数の個数が求まるんだ。

約数の総和の公式

次に約数の総和について考えてみよう。
まずは簡単な\(\small{ \ 60 \ }\)の約数の個数の総和を考えてみよう。
約数は下の括弧から一つずつ選んでかけたものになるんだったよね。
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
2^0 \\
2^1 \\
2^2
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
3^0 \\
3^1
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
5^0 \\
5^1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \ }\)
だから約数の総和は
\(\small{ \ (2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)(5^0+5^1) \ }\)ってかけるよね。

これを一般化すると自然数\(\small{ \ n \ }\)が\(\small{ \ n=2^a\times3^b\times5^c\times7^d \ }\)と因数分解できるとき、
約数の総和は

\(\small{ \ (2^0+2^1+\cdots+2^a)(3^0+3^1+\cdots+3^b)(5^0+5^1+\cdots+5^c)(7^0+7^1+\cdots+7^d) \ }\)

になるんだ。

つまり素因数分解したときのその数の\(\small{ \ 0 \ }\)乗から指数までの数の和同士を掛ければ約数の総和が求まるんだ。

例題を確認
問題解答

次の数の約数の個数と約数の総和を求めよ。
(1)\(\small{ \ 24 \ }\)
(2)\(\small{ \ 1800 \ }\)

(1)
\(\small{
2\underline{) \ \ 24 \ \ }\\
2\underline{) \ \ 12 \ \ }\\
2\underline{) \ \ \ 6 \ \ }\\
\ \ \ \ \ \ \ 3
\ }\)
\(\small{ \ 24=2^3\times3 \ }\)
よって約数の個数は
\(\small{ \ (3+1)(1+1)=8 \ }\)個
約数の総和は
\(\small{(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1)\\
=15\times4\\
=60 \ }\)

(2)
\(\small{
2\underline{) \ \ 1800 \ \ }\\
2\underline{) \ \ \ 900 \ \ }\\
2\underline{) \ \ \ 450 \ \ }\\
3\underline{) \ \ \ 225 \ \ }\\
3\underline{) \ \ \ \ 75 \ \ }\\
5\underline{) \ \ \ \ 25 \ \ }\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ 3
\ }\)
\(\small{ \ 1800=2^3\times3^2\times5^2 \ }\)
よって約数の個数は
\(\small{ \ (3+1)(2+1)(2+1)=36 \ }\)個
約数の総和は

\(\small{\begin{eqnarray}&&(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1+5^2)\\
&&=15\times13\times31\\
&&=6045 \ \end{eqnarray}}\)

point
\(\small{(2^0+2^1+\cdots+2^a) \ }\)は等比数列の和の形になっているから、数列を勉強した人は等比数列の和の公式\(\small{ \ \displaystyle\frac{2^{a+1}-1}{2-1} \ }\)を使ってもいいからね。
でも\(\small{ \ 3 \ }\)乗ぐらいだったら公式を使わずに計算したほうが早そうだよね。
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

おまけ:自然数を約数で割った数も約数

約数の個数や総和には関係ないけど、せっかく約数について勉強するんだから、もう少し詳しく約数について考えてみよう。

\(\small{ \ 60 \ }\)の約数は\(\small{ \ 1,2,3,4,5,6,10,12,14,20,30,60 \ }\)だよね。
約数で\(\small{ \ 60 \ }\)を割ってみると、
\(\small{ \ \displaystyle\frac{60}{2}=30 \ }\)
\(\small{ \ 60 \ }\)を約数\(\small{ \ 2 \ }\)で割った値\(\small{ \ 30 \ }\)も\(\small{ \ 60 \ }\)の約数だよね。

つまり、ある自然数\(\small{ \ n \ }\)の約数の一つを\(\small{ \ a \ }\)とすると\(\small{ \ \displaystyle\frac{n}{a} \ }\)も\(\small{ \ n \ }\)の約数になるんだ。

ちなみに\(\small{ \ n \ }\)の約数は、この\(\small{ \ 60 \ }\)の場合のように偶数個ある場合がほとんどだよね。
\(\small{\begin{eqnarray} \ \ 60&=&1\times60\\
&=&2\times30\\
&=&3\times20\\
&=&4\times15\\
&=&5\times12\\
&=&6\times10 \ \end{eqnarray}}\)
でも\(\small{ \ n \ }\)が\(\small{ \ 144 \ }\)のような平方数の場合、約数は奇数個になるから覚えておこう。
\(\small{\begin{eqnarray} \ 144&=&1\times144\\
&=&2\times72\\
&=&3\times48\\
&=&4\times36\\
&=&6\times24\\
&=&8\times18\\
&=&9\times16\\
&=&12\times12 \ \end{eqnarray}}\)

例題を確認
問題解答

ある自然数\(\small{ \ n \ }\)の約数が\(\small{ \ l \ }\)個あって、その約数を\(\small{ \ a_1,a_2,\cdots,a_l \ }\)とするとき、約数の総和は\(\small{ \ 1344 \ }\)である。
また次の式も成り立つとき、この自然数\(\small{ \ n \ }\)を求めよ。
\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{a_l}=\displaystyle\frac{16}{5} \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{a_l}=\displaystyle\frac{16}{5} \ }\)
両辺を\(\small{ \ n \ }\)倍すると
\(\small{ \ a_1+a_2+\cdots+a_l=\displaystyle\frac{16}{5}n \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{16}{5}n=1344 \ }\)
\(\small{ \ \therefore n=84 \ }\)

point
「約数の逆数の和の問題」や「約数の個数が奇数個ある場合は平方数になる」とか特別な問題は覚えておこう。

Point 約数の個数と約数の総和

①素因数分解して指数に\(\small{ \ 1 \ }\)加えたものを掛け合わせると約数の個数になる
②素因数分解して現れた素数の\(\small{ \ 0 \ }\)乗から指数の数までの和を掛け合わせると約数の総和になる

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