n乗の式を含む隣接二項間漸化式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はn乗の式を含む隣接二項間漸化式について学習していこう。

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n乗の式を含む隣接二項間漸化式の式変形

今回は\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)の\(\small{ \ p=}\)定数( \(\small{\neq 1 }\))で\(\small{ \ q=r^n \ }\)のような定数の\(\small{ \ n \ }\)乗などの\(\small{ \ n \ }\)を指数に含む形の漸化式についての学習だ。

これもある工夫をして等差数列や特性方程式を利用する形に変形していくから、その方法をしっかりと学習しよう。

n乗の式を含む隣接二項間漸化式

\(\normalsize{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)
\(\small{p=}\)定数\(\small{(\neq1)}\)、\(\small{q=r^{nの式}}\)
両辺を\(\small{ \ r^{n+1} \ }\)で割ると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\displaystyle \frac{p}{r}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{r^n}+ }\)定数

\(\small{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\displaystyle \frac{p}{r}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{r^n}+r}\)の式

\(\small{p=}\)定数\(\small{(\neq1)}\)、\(\small{q=r^{nの式} \ }\)の場合は、\(\small{r^{n+1} \ }\)で両辺を割ろう

このとき\(\small{ \ q \ }\)は\(\small{ \ q=r^{n} \ }\)でも\(\small{q=r^{n+1}}\)でも\(\small{q=r^{n-1}}\)でも\(\small{q=a\cdot r^{n-1}}\)の形でも構わない。

とにかく\(\small{q}\)が指数に\(\small{n}\)を含む形だったら、\(\small{r^{n+1}}\)で両辺を割ろう。

\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+c\cdot r^n \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\displaystyle\frac{pa_n}{r^{n+1}}+\displaystyle\frac{c}{r} \ }\)

\(\small{\displaystyle \frac{pa_n}{r^{n+1}} \ }\)を\(\small{ \ \displaystyle \frac{p}{r}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{r^n} \ }\)に変形して\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{r^n} \ }\)とおくと

\(\small{\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}&=&\displaystyle\frac{pa_n}{r^{n+1}}+\displaystyle\frac{c}{r}\\[5pt] \displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}&=&\displaystyle\frac{p}{r}\cdot\displaystyle\frac{a_n}{r^n}+\displaystyle\frac{c}{r}\\[5pt] b_{n+1}&=&\displaystyle\frac{p}{r}b_n+\displaystyle\frac{c}{r}\end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ p=r \ }\)なら等差数列の形に、\(\small{ \ p\neq r \ }\)なら特性方程式を利用するの形に変形できるから、\(\small{ \ b_n \ }\)を求めて\(\small{ \ a_n \ }\)を導こう。

例題を確認
問題解答

\(\small{a_1=3,a_{n+1}=6a_n+3^{n+2} \ }\)によって定められる数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の一般項を求めよ。

両辺を\(\small{3^{n+1}}\)で割ると
\(\small{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle \frac{6}{3}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{3^n}+3}\)
\(\small{b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n} \ }\)とすると、
\(\small{b_{n+1}=2b_n+3}\)
変形して\(\small{ \ b_{n+1}+3=2(b_n+3) \ }\)
よって\(\small{ \ \{b_n+3\} \ }\)は初項\(\small{ \ b_1+3=\displaystyle \frac{a_1}{3}+3=4 \ }\)、公比\(\small{ \ 2 \ }\)の等比数列
\(\small{b_n+3=4\cdot2^{n-1}}\)
\(\small{b_n=2^{n+1}-3}\)
\(\small{\displaystyle \frac{a_n}{3^n}=2^{n+1}-3}\)
\(\small{\therefore a_n=2^{n+1}\cdot3^n-3\cdot3^n=2\cdot6^n-3^{n+1}}\)

point
\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+r^n \ }\)のような\(\small{ \ q \ }\)が指数の式の場合は\(\small{ \ r^{n+1} \ }\)で割る以外にももうひとつ解き方がある。

それは両辺を\(\small{ \ p^{n+1} \ }\)で割る方法だ。

すると\(\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\displaystyle \frac{a_n}{p^n}+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot\left(\displaystyle \frac{r}{p}\right)^n \ }\)ってなって\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{p^n} \ }\)とすると階差数列の漸化式へと変形できる。

でもこの方法は\(\small{r^{n+1} \ }\)で割るよりも計算も大変だからあまりオススメはしないけど、世の中には誘導問題もあるからこの解法も知識としておさえておこう。

Point 隣接二項間漸化式\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)

①\(\small{ \ p=}\)定数( \(\small{\neq 1 }\))\(\small{ \ q=r^{nの式} \ }\)の場合は、\(\small{ \ r^{n+1} \ }\)で両辺を割る

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次の式で定められる数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)について以下の問いに答えよ。

\(\small{ \ a_1=-84、a_{n+1}=3a_n-2\cdot3^{n+2}n+28\cdot3^{n+1} \ (n=1、2、3、\cdots) \ }\)

(1)\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n} \ }\)とするとき、\(\small{ \ b_n \ }\)と\(\small{ \ b_{n+1} \ }\)の関係式を求め、\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の一般項を求めよ。
(2)\(\small{ \ k \ }\)を自然数とし、数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の第\(\small{ \ k \ }\)項から第\(\small{ \ k+3 \ }\)項までの和を\(\small{ \ S(k) \ }\)とする。すなわち\(\small{ \ S(k)=a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+3} \ }\)とする。\(\small{ \ S(2)-S(3) \ }\)と\(\small{ \ S(8)-S(9) \ }\)の正負を調べよ。
(3)\(\small{ \ S(k) \ }\)が最大になる自然数\(\small{ \ k \ }\)を求めよ。

(1)\(\small{ \ a_1=-84\ }\)

\(\small{ \ a_{n+1}=3a_n-2\cdot3^{n+2}n+28\cdot3^{n+1} \ (n=1、2、3、\cdots) \ }\)

両辺を\(\small{ \ 3^{n+1} \ }\)で割ると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle \frac{a_n}{3^n}- 6n+28 \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n} \ }\)とすると
\(\small{ \ b_{n+1}=b_n-6n+28 \ }\)
\(\small{ \ b_1=\displaystyle \frac{a_1}{3}=-28 \ }\)
\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき \(\small{ \ b_n=b_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } (-6k+28) \\
=-28-3n(n-1)+28(n-1)\\
=-3n^2+31n-56 }\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n}=-3n^2+31n-56 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=3^n(-3n^2+31n-56) \ }\)

(2)\(\small{ \ S(k)-S(k+1)=a_k-a_{k+4} \ }\)

\(\small{ \ =3^k(-3k^2+31k-56)-3^{n+4}\left\{-3(k+4)^2+31(k+4)-56\right\}\\
\ =3^k\left\{-3k^2+31k-56-81(-3k^2+7k+20)\right\}\ }\)

\(\small{ \ =4\cdot3^k(60k^2-134k-419) \ }\)
\(\small{ \ S(2)-S(3)\\
= 4\cdot3^2(60\cdot2^2-134\cdot2-419) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \ S(2)-S(3) \lt 0\ }\)
\(\small{ \ S(8)-S(9)\\
= 4\cdot3^8(60\cdot8^2-134\cdot8-419) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \ S(8)-S(9) \gt 0\ }\)

(3)(2) より\(\small{ \ S(k)-S(k+1)\\
=4\cdot3^k(60k^2-134k-419) \ }\)
\(\small{ \ f(k)=60k^2-134k-419 \ }\)とすると
このグラフの軸は\(\small{ \ k=\displaystyle \frac{67}{30} \ }\)
\(\small{ \ f(3)=-281 \lt0 \ }\)\(\small{ \ f(4)=5 \gt 0 \ }\)より
\(\small{ \ k=1、2、3 \ }\)のとき\(\small{ \ f(k) \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore S(k)\lt S(k+1) \ }\)
\(\small{ \ k \geqq4 \ }\)のとき\(\small{ \ f(k) \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore S(k)\gt S(k+1) \ }\)
これより

\(\small{ \ \cdots\lt S(2)\lt S(3) \lt S(4) \gt S(5) \gt S(6) \gt \cdots \ }\)

よって\(\small{ \ S(k) \ }\)が最大になる自然数\(\small{ \ k \ }\)は
\(\small{ \ k=4 \ }\)

隣接2項間漸化式(4)-01

point
この問題は(3)を直接解こうとすると難しいけど(2)が誘導になってることに気付けるかがポイントになる。

でも(2)って多分みんなできるよね?計算が大変なだけで、難しくないからね。

入試ではこんな風に前問でヒントを与えるような問題を出すことが多いから、小問で簡単な問題が出題されている場合、次の問題に利用するんじゃないかって思うことも重要だから、そういう風に考える癖をつけておこう。

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