数列の和と一般項を含む漸化式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は数列の和と一般項を含む漸化式について学習していこう。

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数列の和と一般項を含む漸化式

和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)と一般項\(\small{ \ a_n \ }\)を含んだ漸化式の問題は、与えられた漸化式の\(\small{ \ n \ }\)を\(\small{ \ n+1 \ }\)に書き換えた式を元の漸化式から引いて和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を消去した漸化式を作成しよう。

和と一般項を含む漸化式

\(\small{ \ a_{n+1}=\mathrm{S}_{n+1}-\mathrm{S}_n \ }\)

数列の和を表す記号に注意して一般項だけの式を導く

数列の和が\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)の場合もあるし、\(\small{ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k \ }\)の場合もあるから、どちらにしても和の記号を消去して、\(\small{ \ a_n \ }\)と\(\small{ \ a_{n+1} \ }\)の漸化式を作成しよう。

和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を消去するには\(\small{ \ a_{n+1}=\mathrm{S}_{n+1}-\mathrm{S}_n- \ }\)を利用することになるから上下に二つの式を書いて一般項だけの式にしよう。

\(\small{\begin{array}{l}
&\mathrm{S}_{n+1}&=&pa_{n+1}&+a(n+1)&+b\\
-) &\mathrm{S}_{n}&=&pa_{n}&+an&+b\\
\hline
&a_{n+1} &=&p(a_{n+1}-a_n)&+a
\end{array}}\)

これで一般項だけの隣接二項間漸化式になったよね。
あとは今まで学習した形になったから丁寧に解けばいいよね。

例題を確認
問題解答

次の式を満たす一般項を求めよ。
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=-a_n+n \ }\)

\(\small{ \ n=1 \ }\)を代入すると\(\small{ \ \mathrm{S}_1=-a_1+1 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)より\(\small{ \ a_1=\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \begin{eqnarray} \ &&\mathrm{S}_{n+1}&=&-a_{n+1}&+&n+1\\
-)&&\mathrm{S}_n&=&-a_n&+&n\\
\hline
&&a_{n+1}&=&-a_{n+1}&+&a_n+1 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \therefore a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_n+\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
これを変形すると\(\small{ \ a_{n+1}-1=\displaystyle \frac{1}{2}(a_n-1) \ }\)
\(\small{ \ \{a_n-1\} \ }\)は初項\(\small{ \ -\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)、公比\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)の等比数列より
\(\small{ \ a_n-1=-\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^n \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=1-\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^n \ }\)

point
和を含む場合は初項の値が与えられていない場合もあるけど、\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)を利用して初項を計算して求めよう。

和と一般項の関係は以前数列の和と一般項の関係でも学習しているからそっちも合わせて復習しておこう。

Point 数列の和と一般項を含む漸化式

①数列の和を含む漸化式は、元の漸化式の\(\small{ \ n \ }\)を\(\small{ \ n+1 \ }\)に書き換えた式を元の漸化式から引く
②初項は\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)から求める

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)において初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和を\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)とすると次の式が成り立つ。以下の問いに答えよ。
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=2a_n-n\cdot2^{n+1} \ (n=1,2,3,\cdots) \ }\)
(1)\(\small{ \ a_1 \ }\)、\(\small{a_2 \ }\)を求めよ。
(2)\(\small{ \ a_{n+1} \ }\)を\(\small{ \ a_n \ }\)と\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(3)\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{2^n} \ }\)と定めるとき、\(\small{ \ b_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。さらに\(\small{ \ a_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。

(1)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=2a_n-n\cdot2^{n+1} \cdots①\ }\)とする。
\(\small{ ① }\)に\(\small{ \ n=1 \ }\)を代入すると\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)より
\(\small{ \ a_1=2a_1-1\cdot2^2 \ }\)\(\small{ \ \therefore \ a_1=4 \ }\)
\(\small{ ① }\)に\(\small{ \ n=2 \ }\)を代入すると\(\small{ \ \mathrm{S}_2=a_1+a_2 \ }\)より
\(\small{ \ a_1+a_2=2a_2-2\cdot2^3 \ }\)\(\small{ \ \therefore \ a_2=20 \ }\)

(2)\(\small{ ① }\)より

\(\small{\begin{eqnarray} &&\mathrm{S}_{n+1}&=&2a_{n+1}&-&(n+1)\cdot2^{n+2} \\
-)&&\mathrm{S}_n&=&2a_n&-&n\cdot2^{n+1}\\
\hline
&&a_{n+1}&=&2(a_{n+1}&-&a_n)-(n+2)\cdot2^{n+1} \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ a_{n+1}=2a_n+(n+2)\cdot2^{n+1} \ }\)

(3)\(\small{ \ a_{n+1}=2a_n+(n+2)\cdot2^{n+1} \ }\)より
両辺を\(\small{ \ 2^{n+1} \ }\)で割ると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle \frac{a_n}{2^n} +n+2\ }\)
よって\(\small{ \ b_{n+1}=b_n+n+2 \ }\)
これより\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき

\(\small{\begin{eqnarray} \ b_n&=&b_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n -1} (k+2)\\
&=&2+\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}+2(n-1) \left(b_1=\displaystyle \frac{a_1}{2}=2\right) \\
&=&\displaystyle \frac{n(n+3)}{2} \ \end{eqnarray}}\)

これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも成り立つ。
\(\small{ \ \begin{eqnarray}a_n&=&2^nb_n\\
&=&2^n\cdot\displaystyle \frac{n(n+3)}{2} \\
&=&n(n+3)\cdot2^{n-1}\end{eqnarray}\ }\)

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