2次関数の決定

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2次関数の決定について学習していこう。

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2次関数の決定

2次関数の決定とは与えられた情報(ヒント)から2次関数を求めることなんだけど、やり方を間違えると計算量が大変なことになったりするから、問題からのヒントによって解法を使い分けていこう。

2次関数の決定

・グラフが通る3点が与えられている場合
\(\small{ \ y=ax^2+bx+c \ }\)の一般形に3点を代入した連立方程式を解く
・頂点や軸に関するヒントが与えられている場合
\(\small{ \ y=a(x-p)^2+q \ }\)を利用する

平方形は\(\small{ \ a, \ p, \ q \ }\)を一般形は\(\small{ \ a, \ b, \ c \ }\)を求めればいいんだけど、どちらも3つの文字を求めればいいからどっちを利用しても問題なさそうだけど、そうじゃないから気をつけよう。グラフ上の3点が与えられている場合に平方形を利用するととんでもないことに計算量がとんでもないことになるからね。また図を見てもわかるけど、ある2点を通る2次関数は複数ある。1点が頂点だと2次関数は定まるけど、頂点じゃなければ定まらないんだ。このことをきちんと頭に入れておこう。

二次関数の決定-01

一般形の利用

単純にグラフ上の3点が与えられていたら、一般形に代入することで3つの式ができるから、その式を連立して解こう。例えば平方形に\(\small{ \ x=1 \ }\)を代入すると\(\small{ \ a(1-p)^2 \ }\)の部分がひどいことになるのがわかるよね。
また、\(\small{ \ y=2x^2+x+3 \ }\)を平行移動したグラフがある2点を通るといった問題も\(\small{ \ y=2x^2+bx+c \ }\)として一般形で解こう。平行移動だと\(\small{ \ x^2 \ }\)の係数が変わらなかったよね。忘れている人は下の2次関数の平行移動をもう一度学習しておこう。

平方形を利用

平方形を利用する場合は、軸や頂点に関するヒントが与えられていたら平方形を利用するんだけど、むしろ一般形を利用しない場合って覚えておいた方が簡単。グラフが通る点が2点以下だと2次関数は決定しないから、平行移動させたり、頂点や軸に関するヒントが問題文に入っている可能性がかなり高い。だからグラフ上の3点が与えられていない場合は平方形を利用することがほとんどなんだ。だから軸や頂点に関するヒントを見逃さないようにしよう。\(\small{ \ a, \ p, \ q \ }\)のわからない文字を解くためには連立方程式を作らないといけないけど、平方形を利用する場合は代入する点の数が少ないから、「頂点の座標が\(\small{ \ y=2x+1 \ }\)上にある」みたいなヒントから\(\small{ \ (p, \ q)=(t, \ 2t+1) \ }\)のように求める文字の数を減らしてから通る点を代入していくのが基本になる。代入できる点の数と求める文字の数が同じじゃないと解けないから、通る点の数と同じ数の文字で2次関数を表すことから始めよう。

例題を確認
問題解答

次の\(\small{ \ 2 \ }\)次関数を求めよ。
(1)\(\small{ \ (-1, \ 9), \ (1, \ -1), \ (2, \ 0) \ }\)を通る
(2)\(\small{ \ y=2x^2 \ }\)を平行移動したもので\(\small{ \ (1, \ 3) \ }\)を通り、頂点が\(\small{ \ y=2x-3 \ }\)上にある
(3)軸の方程式が\(\small{ \ x=3 \ }\)で\(\small{ \ (1, \ 1), \ (4, \ 2) \ }\)を通る
(4)\(\small{ \ (2, \ 0)(4, \ 0) \ }\)で\(\small{ \ x \ }\)軸と交わり、\(\small{ \ (0, \ -2) \ }\)で\(\small{ \ y \ }\)軸と交わる

(1)求める2次関数を\(\small{ \ y=ax^2+bx+c \ }\)とおく
\(\small{ \ (-1, \ 9), \ (1, \ -1), (2, \ 0) \ }\)を通るので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
9=a-b+c\\
-1=a+b+c\\
0=4a+2b+c
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=2, \ b=-5, \ c=2 \ }\)
よって\(\small{ \ y=2x^2-5x+2 \ }\)

(2)頂点の\(\small{ \ x \ }\)座標を\(\small{ \ t \ }\)とすると
頂点の座標は\(\small{ \ (t, \ 2t-3) \ }\)となり求める2次関数は\(\small{ \ y=2(x-t)^2+2t-3 \ }\)とおける
これが\(\small{ \ (1, \ 3) \ }\)を通るので
\(\small{ \ 1=2(3-t)^2+2t-3 \ }\)
\(\small{ \ 2t^2-2t-4=0 \ }\)
\(\small{ \ (t+1)(t-2)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=-1, \ 2 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=2(x+1)^2-5\\
y=2(x-2)^2+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

(3)求める2次関数は\(\small{ \ y=a(x-3)^2+b \ }\)とおける
\(\small{ \ (1, \ 1), \ (4, \ -2) \ }\)を通るので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1=4a+b\\
-2=a+b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=1, \ b=-3 \ }\)
よって\(\small{ \ y=(x-3)^2-3 \ }\)

(4)求める2次関数は\(\small{ \ (2, \ 0), \ (4, \ 0) \ }\)を通るので
\(\small{ \ y=a(x-2)(x-4) \ }\)とおける
これが\(\small{ \ (0, \ -2) \ }\)を通るので
\(\small{ \ -2=8a \ }\)
\(\small{ \ \therefore a=-\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)
よって\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{1}{4}(x-2)(x-4) \ }\)

point
\(\small{ \ x \ }\)切片が2つともわかっている場合は\(\small{ \ y=a(x-\alpha)(x-\beta) \ }\)っておくこともできるから覚えておこう。
(1)から(4)までの解答を見て分かる通り、グラフ上の点を代入すれば方程式が1つできるよね。代入する点の数と2次関数を表すために使っている未知数の数が同じじゃないと解けないから、点を代入するときには未知数の数と代入する点の数が同じ数になるように関数の式を工夫しておこう

Point

①3点が与えれているときは一般形で解く
②軸や頂点が絡む場合は平方形で解く

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 2 \ }\)次関数\(\small{ \ f(x)=ax^2-2ax+b \ }\)(\(\small{ \ a, \ b \ }\)は定数)は区間\(\small{ \ 0\leqq x\leqq3 \ }\)における最大値が\(\small{ \ 3 \ }\)、最小値が\(\small{-5 \ }\)である。このとき\(\small{ \ a, \ b \ }\)の値を求めよ。

平方完成すると\(\small{ \ y=a(x-1)^2-a+b \ }\)
(i)\(\small{ \ a \gt0 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき最小、\(\small{ \ x=3 \ }\)のとき最大になるので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-a+b=-5\\
3a+b=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=2, \ b=-3 \ }\)
(ii)\(\small{ \ a \lt0 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=3 \ }\)のとき最小、\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき最大になるので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3a+b=-5\\
-a+b=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-2, \ b=1 \ }\)

2次関数の決定-02

point
今回の2次関数の決定では一般形と平方形を利用して解いたけど、これと同じで円の方程式の決定も二つの形を利用して解くから、ついでに覚えておこう。円も中心や半径が絡むものと3点が与えられているもので解き方が違うから、今回の2次関数の決定と本当によく似てるんだ。

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