等差数列と階差数列の隣接二項間漸化式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は等差数列と階差数列の隣接二項間漸化式について学習していこう。

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等差数列と階差数列の漸化式

入試にもよく出題される漸化式だけど、とにかく漸化式の形を覚えよう。

この形ならこの解法っていうのが少なからずあるから、まず最低限の形をおさえておくことが大切なんだ。

その上で応用問題に対応できるように様々な問題の演習をこなしていこう。一気に全部学習するのは大変だから、数回に分けて\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)の形の隣接二項間漸化式を学習していこう。

等差数列と階差数列の隣接二項間漸化式

\(\normalsize{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)
①\(\small{ \ p=1 \ }\)、\(\small{ \ q=}\)定数の場合【等差数列】
\(\small{ \ a_{n+1}=a_n+d \ }\)となり、\(\small{a_n=a_1+(n-1)d}\)

②\(\small{ \ p=1 \ }\)、\(\small{ \ q=n \ }\)の式の場合【階差数列】
\(\small{a_{n+1}=a_n+b_n \ }\)となり、\(\small{ \ a_n=a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k \ }\)

今回は\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)の\(\small{ \ p=1 \ }\)のときについての学習になる。

\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)の形のとき、まずは大きく分けて\(\small{ \ p=1、p\neq1 \ }\)、さらに\(\small{ \ q \ }\)が定数か\(\small{ \ n \ }\)の式かに分けて考えていこう。

\(\small{ \ p=1 \ }\)、\(\small{ \ q=}\)定数【等差数列の漸化式】

\(\small{a_{n+1}=a_n+}\)(定数)の式は、第\(\small{ \ n \ }\)項に定数を足すと第\(\small{ \ n+1 \ }\)項になるから、定数\(\small{ \ q \ }\)を公差\(\small{ \ d \ }\)とする等差数列になることがわかるよね。

\(\small{ \ a_{n+1}=a_n+3 \ }\)のような形の漸化式ね。

等差数列といえば\(\small{ \ a_n=a_1+(n-1)d \ }\)になるから、初項と公差を代入して一般項を求めよう。

ちなみに漸化式の問題は必ず初項は与えられてるからね。

\(\small{ \ p=1 \ }\)、\(\small{ \ q=n }\)の式【階差数列の漸化式】

\(\small{a_{n+1}=a_n+(n \ }\)の式)は、(\(\small{ \ n \ }\)の式)\(\small{=b_n \ }\)とおくと、\(\small{b_n=a_{n+1}-a_n \ }\)になるから階差数列って言えるよね。

\(\small{ \ a_{n+1}=a_n+n \ }\)\(\small{ \ a_{n+1}=a_n+3^n+1 \ }\)のような形の漸化式ね。

階差数列といえば\(\small{ \ a_n=a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k \ }\)になるから、この式に代入して一般項を求めよう。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{a_1=5,a_{n+1}=a_n-3 \ }\)によって定められる数列\(\small{\{a_n\}}\)の一般項を求めよ。
(2)\(\small{a_1=3,a_{n+1}=a_n+4n+2^n \ }\)によって定められる数列\(\small{\{a_n\}}\)の一般項を求めよ。

(1)\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)は初項\(\small{ \ 5 \ }\)、公差\(\small{ \ -3 \ }\)の等差数列だから
\(\small{\begin{eqnarray}a_n&=&5-3(n-1)\\
&=&-3n+8\end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の階差数列\(\small{ \ b_n=4k+2^k \ }\)より
\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray}a_n&=&3+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } (4k+2^k)\\
&=&3+4\cdot\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+\displaystyle \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}\\
&=&2n^2-2n+2^n+1\end{eqnarray}}\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす
\(\small{ \ \therefore a_n=2n^2-2n+2^n+1 \ }\)

point
\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)の\(\small{ \ p=1 \ }\)のタイプは\(\small{ \ q \ }\)が定数なら等差数列、\(\small{ \ n \ }\)の式なら階差数列になるから、今まで学習した内容(等差数列・階差数列)を利用して解けばいいから、まだ等差数列・階差数列を完全にマスターしていない人は早めにマスターするようにしよう。
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

Point 隣接二項間漸化式\(\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }\)

①\(\small{ \ p=1}\)、\(\small{q=}\)定数の場合は、定数を公差とする等差数列
②\(\small{ \ p=1}\)、\(\small{q=n \ }\)の式の場合は、\(\small{q=n \ }\)の式を\(\small{ \ b_n \ }\)とする階差数列

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)と\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)を
\(\small{ \ a_1=119 \ }\)、\(\small{ \ a_{n+1}-a_n=12n-61(n=1、2、3、\cdots) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{b_k}=-\displaystyle \frac{1}{2}n(n-2c+1) (n=1、2、3、\cdots) \ }\)

によって定める。ここで\(\small{ \ c \ }\)は\(\small{ \ 5 \lt c \lt 6 \ }\)を満たす定数とする。以下の問いに答えよ。
(1一般項\(\small{ \ a_n \ }\)と\(\small{ \ b_n \ }\)を求めよ。
(2)\(\small{ \ a_nb_n \gt 0 \ }\)となる\(\small{ \ n \ }\)をすべて求めよ。
(3)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \ }\)が最大になる\(\small{ \ n \ }\)を求めよ。

(1)\(\small{ \ a_1=119、a_{n+1}-a_n=12n-61 \ }\)
\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき\(\small{ \ a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(12k-61) \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=6n^2-67n+180 \ }\) これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき満たす。
次に\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{1}{b_k}=-\displaystyle \frac{1}{2}n(n-2c+1)\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle \frac{1}{b_k}=-\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)(n-2c) \ }\)
\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき辺々引くと
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{b_n}=\displaystyle \frac{1}{2}\{-(n-2c)-n\}=c-n \ }\)
\(\small{ \ \therefore b_n=\displaystyle \frac{1}{c-n}\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①}\)より\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{b_1}=-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot(2-2c)=c-1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore b_1=\displaystyle \frac{1}{c-1} \ }\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ ②}\)を満たすから
\(\small{ \ \therefore b_n=\displaystyle \frac{1}{c-n} \ }\)

(2)(1)より\(\small{ \ a_nb_n=\displaystyle \frac{6n^2-67n+180}{c-n} \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ 5 \lt c \lt 6 \ }\)より\(\small{ \ n\leqq 5 \ }\)のとき\(\small{ \ c \gt n \ }\)
よって\(\small{ \ 6n^2-67n+180 \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ (2n-9)(3n-20) \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore n\lt \displaystyle \frac{9}{2}、n\gt\displaystyle \frac{20}{3} \ }\)
\(\small{ \ n\leqq 5 \ }\)より\(\small{ \ n=1、2、3、4 \ }\)
\(\small{ \ n\geqq 6 \ }\)のとき\(\small{ \ c \lt n \ }\)
\(\small{ \ (2n-9)(3n-20) \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{9}{2} \lt n \lt \displaystyle \frac{20}{3} \ }\)
\(\small{ \ n\geqq 6 \ }\)より\(\small{ \ n=6 \ }\)
よって求める\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ n=1、2、3、4、6 \ }\)

(3)

\(\small{ \ a_5b_5+a_6b_6=\displaystyle \frac{-5}{c-5}+\displaystyle \frac{-6}{c-6}=\displaystyle \frac{-11c+60}{(c-5)(c-6)} \ }\)

よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \ }\)が最大になる\(\small{ \ n \ }\)の値は
\(\small{ 5 \lt c \lt\displaystyle \frac{60}{11} \ }\)のとき\(\small{ \ n=4 \ }\)
\(\small{ c=\displaystyle \frac{60}{11} \ }\)のとき\(\small{ \ n=4、6 \ }\)
\(\small{ \displaystyle \frac{60}{11} \lt c \lt 6 \ }\)のとき\(\small{ \ n=6 \ }\)

point
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac{1}{b_k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle \frac{1}{b_k}=\displaystyle \frac{1}{b_k} \ }\)は数列の和と一般項の関係の\(\small{ \ a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)の利用と同じだから、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の式で書いてあっても一般項と和の関係を利用できるようにしておこう。

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