三角方程式と二次方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角方程式と二次方程式について学習していこう。

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三角方程式の二次方程式への変形

今回学習する内容は、「問題文を二次方程式に変形して、三角関数の値を求めて\(\small{ \ \theta \ }\)を求める」っていう流れを学習するんだけど、これは以前図形と計量で学習した内容と大きく違わない。

でも数学Ⅰの図形と計量では\(\small{ \ 0 \leqq \theta\leqq\pi \ }\)の範囲で答えを導いていたけど、数学Ⅱの三角関数では\(\small{ \ \theta \ }\)の範囲に制限がないし、あっても\(\small{ \ 0 \leqq \theta\lt 2\pi \ }\)になってるから数学Ⅰとはちょっとだけ異なるからね。

さらに内容も少し難しくなるから、まずは以前学習した下の記事を読んで基本的な解き方を確実に理解しておこう。

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三角方程式と二次方程式

・\(\small{ \ t=\sin\theta \ }\)か\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)と置換する場合
①\(\small{ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \ }\)の利用
②二倍角の公式の利用
 \(\small{\begin{eqnarray} \ \cos2\theta&=&1-2\sin^2\theta\\
&=&2\cos^2\theta-1 \ \end{eqnarray}}\)

三角関数の置換と二次方程式

まずは数学Ⅰで学習した内容と同じで、\(\small{ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \ }\)を利用して、与えられた問題文を二次方程式に変形する問題について学習していこう。

\(\small{ \ 2\cos^2 \theta-3\sin\theta-3=0 \ }\)のような問題で、\(\small{ \ 2 \ }\)乗された\(\small{ \ \sin^2\theta \ }\)か\(\small{ \ \cos^2\theta \ }\)のどちらかがあって、一次の項に\(\small{ \ \sin\theta \ }\)か\(\small{ \ \cos\theta \ }\)のどちらかがある問題。

この場合、一次の項を\(\small{ \ t \ }\)とおくことで\(\small{ \ t \ }\)の方程式に変形できるから、一次の項の文字にすべて合わせよう。

\(\small{ \ 2 \ }\)乗された\(\small{ \ \sin^2\theta \ }\)か\(\small{ \ \cos^2\theta \ }\)は\(\small{ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \ }\)を利用することで、常に\(\small{ \ \sin\theta \ }\)か\(\small{ \ \cos\theta \ }\)にそろえることができるよね。

三角関数を一つの文字にそろえたら、その文字を\(\small{ \ t \ }\)と置いて二次方程式をたてて、解を求める。

ただ、このとき\(\small{ \ t \ }\)の範囲に注意しよう。\(\small{ \ t=\sin\theta \ }\)か\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)って置いてるはずだから、\(\small{ \ -1\leqq t \leqq 1 \ }\)になるからね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq \theta\lt 2\pi \ }\)のとき、
\(\small{ \ 2\sin^2 \theta-3\cos\theta=0 \ }\)を解け。

\(\small{ \ 2\sin^2 \theta-3\cos\theta=0 \ }\)
\(\small{ \ 2\left(1-\cos^2 \theta\right)-3\cos\theta=0 \ }\)
\(\small{ \ 2\cos^2 \theta+3\cos\theta-2=0 \ }\)
\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)とおくと
\(\small{ \ 2t^2+3t-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (2t-1)(t+2)=0 \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{1}{2}, \ -2 \ }\)
\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)より\(\small{ \ -1\leqq t \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)より\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{3}, \ \displaystyle\frac{5}{3}\pi \ }\)

point
わざわざ\(\small{ \ t \ }\)って置換しなくても解けるけど、高校数学では置換すると必ず範囲が変わるから、わざと\(\small{ \ t \ }\)って置換することで範囲に注意することになるからね。

\(\small{ \ \cos2\theta \ }\)を含む方程式

次は\(\small{ \ \cos2\theta \ }\)を含む方程式の問題について考えていこう。
二倍角の公式から\(\small{ \ \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta \ }\)って覚えてる人も多いと思うけど、この公式は意外と使わない

だってさっき話したように「一次の項を\(\small{ \ t \ }\)とおくことで\(\small{ \ t \ }\)の方程式に変形できるから、一次の項の文字にすべて合わせよう」ってことを考えると
\(\small{ \ \cos2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1 \ }\)のどちらかになるよね。だからむしろこの二つを二倍角の公式として覚えておこう。

\(\small{ \ \cos2\theta=\sin\theta \ }\)のような問題だったら、\(\small{ \ 1-2\sin^2\theta=\sin\theta \ }\)に変形して、\(\small{ \ t=\sin\theta \ }\)って置換して二次方程式を解けばいいよね。

つまり\(\small{ \ \cos2\theta \ }\)を含む方程式は、一次の項に注目して変形すればいいってことなんだ。
一次の項は変形しようとしてもできないから、この項を\(\small{ \ t \ }\)って置くしかないよね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq \theta\lt 2\pi \ }\)のとき、
\(\small{ \ \cos 2\theta=\cos\theta \ }\)を解け。

\(\small{ \ \cos 2\theta=\cos\theta \ }\)
\(\small{ \ 2\cos^2 \theta-1=\cos\theta \ }\)
\(\small{ \ 2\cos^2 \theta-\cos\theta-1=0 \ }\)
\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)とおくと
\(\small{ \ 2t^2-t-1=0 \ }\)
\(\small{ \ (2t+1)(t-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ t=-\displaystyle\frac{1}{2}, \ 1 \ }\)
\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)より\(\small{ \ -1\leqq t \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=-\displaystyle\frac{1}{2}, \ 1 \ }\)
\(\small{ \ \cos\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}, \ 1 \ }\)より\(\small{ \ \theta=0, \ \displaystyle\frac{2}{3}\pi, \ \displaystyle\frac{4}{3}\pi \ }\)

\(\small{ \ \sin2\theta \ }\)を含む方程式

次に\(\small{ \ \sin2\theta \ }\)を含む方程式について考えてみよう。
二倍角の公式から\(\small{ \ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta \ }\)になるよね。これだと一次の項が\(\small{ \ \sin\theta \ }\)も\(\small{ \ \cos\theta \ }\)も入っていて、どちらかの文字に置き換えることはできないよね。

\(\small{ \ \sin2\theta=\cos\theta \ }\)のような問題だと、\(\small{ \ 2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta \ }\)から\(\small{ \ \cos\theta(2\sin\theta-1)=0 \ }\)にして考えてあげればいい。
つまりこの場合\(\small{ \ \sin2\theta \ }\)を含む方程式は\(\small{ \ t=\sin\theta \ }\)や\(\small{ \ t=\cos\theta \ }\)って置換しないんだ。

もちろん\(\small{ \ \sin2\theta+\sin\theta\cos2\theta=0 \ }\)みたいな問題だと、\(\small{ \ \sin\theta \ }\)でくくって\(\small{ \ \sin\theta(2\cos\theta+2\cos^2\theta-1)=0 \ }\)ってして括弧の中を\(\small{ \ \cos\theta \ }\)を\(\small{ \ t \ }\)と置換するような問題もあるからね。

\(\small{ \ \sin2\theta \ }\)を含む方程式はその変形に注意して問題を解こう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq \theta\lt 2\pi \ }\)のとき、
\(\small{ \ \sin 2\theta=\sqrt{2}\sin\theta \ }\)

\(\small{ \ \sin 2\theta=\sqrt{2}\sin\theta \ }\)
\(\small{ \ 2\sin\theta\cos\theta=\sqrt{2}\sin\theta \ }\)
\(\small{ \ \sqrt{2}\sin\theta\left(\sqrt{2}\cos\theta-1\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta=0, \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \theta=0, \ \displaystyle\frac{\pi}{4}, \ \pi, \ \displaystyle\frac{5}{4}\pi \ }\)

point
よく\(\small{ \ 2\sin\theta\cos\theta=\sqrt{2}\sin\theta \ }\)から\(\small{ \ 2\cos\theta=\sqrt{2} \ }\)って\(\small{ \ \sin\theta \ }\)で割っちゃう人がいるけど、\(\small{ \ \sin\theta=0 \ }\)の場合割れないから、必ず移行して因数分解するようにしよう。

Point 三角方程式と二次方程式

①一次の項の文字を\(\small{ \ t \ }\)と置換して\(\small{ \ t \ }\)の方程式をたてる
②\(\small{ \ \cos2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1 \ }\)を利用
③\(\small{ \ \sin2\theta \ }\)を含む方程式は\(\small{ \ t=\sin\theta \ }\)と置換しない

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

実数\(\small{ \ a, \ b \ }\)に対し、
\(\small{ \ f(\theta)=\cos 2\theta+2a\sin\theta-b(0\leqq \theta \leqq \pi) \ }\)とする。
方程式\(\small{ \ f(\theta)=0 \ }\)が奇数個の解をもつとき、\(\small{ \ a, \ b \ }\)が満たす条件を求めよ。

\(\small{\begin{eqnarray} \ f(\theta)&=&\cos 2\theta+2a\sin\theta-b\\
&=&1-2\sin^2 \theta+2a\sin\theta-b\\
&=&-2\sin^2 \theta+2a\sin\theta-b+1 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ t=\sin\theta(0\leqq \theta \leqq \pi) \ }\)とおくと\(\small{ \ f(\theta)=0 \ }\)より
\(\small{ \ 2t^2-2at+b-1=0 \ }\)
ここで実数\(\small{ \ t \ }\)を一つ与えるとき、\(\small{ \ \sin\theta=t, \ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ }\)を満たす\(\small{ \ \theta \ }\)の個数は
\(\small{ \ 0\leqq t \lt 1 \ }\)のとき\(\small{ \ 2 \ }\)個
\(\small{ \ t=1 \ }\)のとき\(\small{ \ 1 \ }\)個
\(\small{ \ t \lt0, \ t \gt 1 \ }\)のとき\(\small{ \ 0 \ }\)個
よって\(\small{ \ f(\theta)=0 \ }\)が奇数個の解をもつは\(\small{ \ t=1 \ }\)を解にもつときであればよい。
よって求める条件は
\(\small{ \ 2-2a+b-1=0 \ }\)\(\small{ \ \therefore b=2a-1 \ }\)

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