定義域の一端が変化する3次関数の最大最小

関数\(\small{ \ f(x)=x^3-9x^2+15x+5 \ }\)の\(\small{ \ 0 \leqq x \leqq a \ (a \gt 0) \ }\)における最大値と最小値を求めよ。ただし、\(\small{ \ a \ }\)は定数とする。

\(\small{ \ f(x)=x^3-9x^2+15x+5 \ }\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}f'(x)&=& 3x^2-18x+15\\
&=& 3(x-1)(x-5)\end{eqnarray} \ }\)
よって増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 1 & \cdots & 5 & \cdots \\
\hline
f’(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 12 & \searrow & -20 & \nearrow
\end{array} \ }\)
\(\small{ \ f(1)=12 \ }\)より\(\small{ \ f(x)=f(1) \ }\)とすると
\(\small{ \ x^3-9x^2+15x+5=12 \ }\)
\(\small{ \ x^3-9x^2+15x-7=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-1)^2(x-7)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=7 \ }\)
\(\small{ \ f(0)=5 \ }\)より\(\small{ \ f(x)=f(0) \ }\)とすると
\(\small{ \ x^3-9x^2+15x+5=5 \ }\)
\(\small{ \ x^3-9x^2+15x=0 \ }\)
\(\small{ \ x(x^2-9x+15)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\displaystyle \frac{9\pm\sqrt{21}}{2} \ }\)

(i)\(\small{ \ a \lt 1 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ 5 \ (x=0) \ }\)
最大値\(\small{ \ a^3-9a^2+15a+5 \ (x=a) \ }\)

(ii)\(\small{ \ 1 \leqq a \lt \displaystyle \frac{9-\sqrt{21}}{2} \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ 5 \ (x=0) \ }\)
最大値\(\small{ \ 12 \ (x=1) \ }\)

(iii)\(\small{ \ \displaystyle \frac{9-\sqrt{21}}{2} \leqq a \lt 5 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ a^3-9a^2+15a+5 \ (x=a) \ }\)
最大値\(\small{ \ 12 \ (x=1) \ }\)

(iv)\(\small{ \ 5 \leqq a \lt 7 \ }\)のとき
最小値\(\small{ \ -20 \ (x=5) \ }\)
最大値\(\small{ \ 12 \ (x=1) \ }\)

(v)\(\small{ \ a \geqq 7 \ }\)
最小値\(\small{ \ -20 \ (x=5) \ }\)
最大値\(\small{ \ a^3-9a^2+15a+5 \ (x=a) \ }\)