円の方程式の決定

(1)中心の座標を\(\small{ \ (t,t-1) \ }\)とすると円の方程式は\(\small{ \ (x-t)^2+(y-t+1)^2=r^2 \ }\)とおける。
\(\small{2}\)点\(\small{ \ (0,1)、(4,-1) \ }\)を通るので、それぞれ代入すると、
\(\small{(-t)^2+(1-t+1)^2=r^2}\)
\(\small{(4-t)^2+(-1-t+1)^2=r^2}\)
これから\(\small{ \ r \ }\)を消去すると、
\(\small{2t^2-4t+4=2t^2-8t+16}\)
\(\small{4t-12=0}\)
\(\small{t=3}\)、\(\small{r^2=10}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=10}\)

(2)点第2象限の点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を通ることと、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸に接するに接することから求める円の方程式は\(\small{ \ (x+r)^2+(y-r)^2=r^2 \ }\)とおける。ただし、\(\small{ \ r\gt 0 \ }\)
点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を円の方程式に代入して、
\(\small{(-2+r)^2+(1-r)^2=r^2}\)
\(\small{r^2-6r+5=0}\)
\(\small{(r-1)(r-5)}=0\)
\(\small{r=1、5}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x+1)^2+(y-1)^2=1}\)、
\(\small{(x+5)^2+(y-5)^2=25}\)

(1)円の方程式を\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)とおく。
\(\small{ \ (0,1)、(3,2)、(6,-7) \ }\)をそれぞれ代入し、
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
m+n+1=0 \\
3l+2m+n+13=0\\
6l-7m+n+85=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}}\)
これを解いて
\(\small{l=-6、m=6、n=-7}\)
よって求める方程式は、
\(\small{x^2+y^2-6x+6y-7=0}\)

(2)まずは2円の式を平方形から一般形に変形する。
\(\small{x^2+y^2-2x-6y+6=0}\)
\(\small{x^2+y^2-8x-2y+8=0}\)
片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して辺々加えると
\(\small{\begin{eqnarray}\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y+6\\
~~~+k(x^2+y^2-8x-2y+8)=0\end{array}\end{eqnarray}}\)
この円の方程式は与えられた2円の交点を通る。
\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから
\(\small{\begin{eqnarray}\begin{array}{l}3^2+1^2-2\cdot 3-6\cdot1+6\\
~~~+k(3^2+1^2-8\cdot 3-2\cdot 1+8)=0\end{array}\end{eqnarray}}\)
\(\small{4-8k=0}\)
\(\small{k=\displaystyle \frac{1}{2}}\)
\(\small{(x-2)^2+\left(y-\displaystyle \frac{7}{3}\right)^2=\displaystyle \frac{25}{9}}\)