n乗の式を含む隣接二項間漸化式

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はn乗の式を含む隣接二項間漸化式について学習していこう。

n乗の式を含む隣接二項間漸化式の式変形

今回は$\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }$の$\small{ \ p=}$定数（ $\small{\neq 1 }$）で$\small{ \ q=r^n \ }$のような定数の$\small{ \ n \ }$乗などの$\small{ \ n \ }$を指数に含む形の漸化式についての学習だ。

これもある工夫をして等差数列や特性方程式を利用する形に変形していくから、その方法をしっかりと学習しよう。

$\small{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\displaystyle \frac{p}{r}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{r^n}+r}$の式

$\small{p=}$定数$\small{(\neq1)}$、$\small{q=r^{nの式} \ }$の場合は、$\small{r^{n+1} \ }$で両辺を割ろう。

このとき$\small{ \ q \ }$は$\small{ \ q=r^{n} \ }$でも$\small{q=r^{n+1}}$でも$\small{q=r^{n-1}}$でも$\small{q=a\cdot r^{n-1}}$の形でも構わない。

とにかく$\small{q}$が指数に$\small{n}$を含む形だったら、$\small{r^{n+1}}$で両辺を割ろう。

$\small{ \ a_{n+1}=pa_n+c\cdot r^n \ }$
$\small{ \ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\displaystyle\frac{pa_n}{r^{n+1}}+\displaystyle\frac{c}{r} \ }$

$\small{r^{n+1}}$で割ることで、$\small{r^{n}}$の項の$\small{ \ n \ }$がなくなって定数$\small{ \ \displaystyle\frac{c}{r} \ }$になるんだ。

$\small{\displaystyle \frac{pa_n}{r^{n+1}} \ }$を$\small{ \ \displaystyle \frac{p}{r}\cdot\displaystyle \frac{a_n}{r^n} \ }$に変形して$\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{r^n} \ }$、定数になる$\small{ \ \displaystyle\frac{p}{r} \ }$と$\small{ \ \displaystyle\frac{c}{r} \ }$を$\small{ \ p'、q' \ }$とおくと

$\small{\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}&=&\displaystyle\frac{pa_n}{r^{n+1}}+\displaystyle\frac{c}{r}\\[5pt] \displaystyle\frac{a_{n+1}}{r^{n+1}}&=&\displaystyle\frac{p}{r}\cdot\displaystyle\frac{a_n}{r^n}+\displaystyle\frac{c}{r}\\[5pt] b_{n+1}&=&p'b_n+q'\end{eqnarray}}$

$\small{ \ p=r \ }$なら$\small{ \ p'=1 \ }$になるから等差数列の形に、$\small{ \ p\neq r \ }$なら$\small{ \ p'\neq 1 \ }$になるから特性方程式を利用するの形なるよね。

$\small{ \ b_n \ }$を求めて$\small{ \ a_n \ }$を導こう。

もう一つの解き方

$\small{ \ a_{n+1}=pa_n+r^n \ }$のような$\small{ \ q \ }$が指数の式の場合は$\small{ \ r^{n+1} \ }$で割る以外にももうひとつ解き方がある。

それは両辺を$\small{ \ p^{n+1} \ }$で割る方法だ。

すると$\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\displaystyle \frac{a_n}{p^n}+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot\left(\displaystyle \frac{r}{p}\right)^n \ }$ってなって$\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n}{p^n} \ }$とすると階差数列の漸化式へと変形できるんだ。
$\small{\begin{aligned} \ \displaystyle \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}&=\displaystyle \frac{a_n}{p^n}+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot\left(\displaystyle \frac{r}{p}\right)^n\\[5pt] b_{n+1}&=b_n+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot\left(\displaystyle \frac{r}{p}\right)^n \end{aligned} }$
$\small{ \ c_n=\displaystyle \frac{1}{p}\cdot\left(\displaystyle \frac{r}{p}\right)^n \ }$とおくと$\small{ \ b_n=b_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}c_k \ (n\geqq2)}$になるから、$\small{ \ b_n \ }$を求めて$\small{ \ a_n \ }$を導こう。

等比数列の和の計算は$\small{ \ 3\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n+1}=\dfrac{3}{4}\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-1} \ }$に変形して、初項と公比を分かりやすくして計算するようにしよう。

Point　隣接二項間漸化式$\small{ \ a_{n+1}=pa_n+q \ }$

①$\small{ \ p=}$定数（ $\small{\neq 1 }$）$\small{ \ q=r^{nの式} \ }$の場合は、$\small{ \ r^{n+1} \ }$で両辺を割る。
②$\small{ \ r^{n+1} \ }$で割らない場合は、$\small{ \ p^{n+1} \ }$で両辺を割る

この問題は(3)を直接解こうとすると難しいけど(2)が誘導になってることに気付けるかがポイントになる。

でも(2)って多分みんなできるよね？計算が大変なだけで、難しくないからね。

入試ではこんな風に前問でヒントを与えるような問題を出すことが多いから、小問で簡単な問題が出題されている場合、次の問題に利用するんじゃないかって思うことも重要だから、そういう風に考える癖をつけておこう。