円と直線の共有点

円\(\small{ \ (x-2)^2+(y-3)^2=4 \ }\)と直線\(\small{ \ x-y+3=0 \ }\)の共有点の座標を求めなさい。

円\(\small{ \ x^2+y^2=4 \ }\)と直線\(\small{ \ x+y+k=0 \ }\)との共有点の個数を調べよ。
また共有点が\(\small{ \ 1 \ }\)個のとき（つまり円と直線が接するとき）の座標も求めよ。

・判別式で解答
直線の方程式を円の方程式に代入すると
\(\small{x^2+(-x-k)^2=4}\)
これを整理して
\(\small{2x^2+2kx+k^2-4=0\cdots①}\)
この判別式は
\(\small{\displaystyle \frac{D}{4}=(k)^2-2\cdot(k^2-4)=-k^2+8}\)
(i)共有点が\(\small{ \ 2 \ }\)個のとき
\(\small{-k^2+8\gt 0}\)
\(\small{-2\sqrt{2} \lt k \lt2\sqrt{2} }\)
(ii)共有点が\(\small{ \ 1 \ }\)個のとき
\(\small{-k^2+8=0}\)
\(\small{k=\pm2\sqrt{2}}\)
\(\small{ ① }\)に代入すると
\(\small{k=2\sqrt{2} \ }\)のとき\(\small{( \ x+\sqrt{2})^2=0 \ }\)より
\(\small{(x、y)=(-\sqrt{2}、-\sqrt{2})}\)
\(\small{k=-2\sqrt{2} \ }\)のとき\(\small{( \ x-\sqrt{2})^2=0 \ }\)より
\(\small{(x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2})}\)
(iii)共有点が\(\small{ \ 0 \ }\)個のとき
\(\small{-k^2+8\lt 0}\)
\(\small{k\lt-2\sqrt{2}　,　k\gt2\sqrt{2} }\)

・点と直線の距離で解答

円の中心と直線の距離を\(\small{ \ d \ }\)とすると
\(\small{d=\displaystyle \frac{|0+0+k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt{2}}}\)
(i)共有点が\(\small{ \ 2 \ }\)個のとき
\(\small{d \lt}\)円の半径
\(\small{\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt{2}}\lt 2}\)
\(\small{|k| \lt 2\sqrt{2}}\)
\(\small{-2\sqrt{2} \lt k \lt2\sqrt{2} }\)

(ii)共有点が\(\small{ \ 1 \ }\)個のとき
\(\small{d=}\)円の半径
\(\small{\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt{2}}=2}\)
\(\small{|k|=2\sqrt{2}}\)
\(\small{k=\pm2\sqrt{2}}\)
円\(\small{ \ x^2+y^2=4 \ }\)と直線\(\small{ \ x+y+2\sqrt{2}=0 \ }\)を連立して
\(\small{(x+\sqrt{2})^2=0}\)より
\(\small{(x、y)=(-\sqrt{2}、-\sqrt{2})}\)
円\(\small{ \ x^2+y^2=4 \ }\)と直線\(\small{ \ x+y-2\sqrt{2}=0 \ }\)を連立して
\(\small{(x-\sqrt{2})^2=0 \ }\)より
\(\small{(x、y)=(\sqrt{2}、\sqrt{2})}\)

(iii)共有点が\(\small{ \ 0 \ }\)個のとき
\(\small{d \gt}\)円の半径
\(\small{\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt{2}}\gt 2}\)
\(\small{|k| \gt 2\sqrt{2}}\)
\(\small{k\lt-2\sqrt{2}　,　k\gt2\sqrt{2} }\)

円\(\small{ \ C \ }\)：\(\small{ \ x^2+y^2=2 \ }\)と直線\(\small{ \ l \ }\)：\(\small{ \ x+y=k \ }\)が異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)で交わっている。
次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ k \ }\)の値の範囲を求めよ。
(2)\(\small{ \ \mathrm{P}}\)、\(\small{\mathrm{Q} \ }\)の\(\small{ \ x \ }\)座標をそれぞれ\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{\beta \ }\)とするとき、\(\small{ \ \alpha+\beta \ }\)および\(\small{ \ \alpha \beta \ }\)を\(\small{ \ k \ }\)を用いて表せ。
(3)線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の長さを\(\small{ \ k \ }\)を用いて表せ。
(4)円\(\small{ \ C \ }\)上の点\(\small{ \ \mathrm{A}(-1, \ -1) \ }\)について\(\small{ \ 2\mathrm{PQ}=\mathrm{AP} \ }\)となるときの\(\small{ \ k \ }\)の値を求めよ。

(1)円と直線の方程式を連立して
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=2\cdots①\\
x+y=k\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ ② }\)を変形して\(\small{ ① }\)に代入
\(\small{ \ x^2+(-x+k)^2=2 \ }\)
\(\small{ \ 2x^2-2kx+k^2-2=0\cdots③ \ }\)
円\(\small{ \ C \ }\)と直線\(\small{ \ l \ }\)が異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点で交わるとき\(\small{③}\)の判別式を\(\small{ \ D \ }\)とすると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{D}{4}=k^2-2(k^2-2) \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ (k+2)(k-2) \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore -2 \lt k \lt 2 \ }\)

(2)\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{\beta \ }\)は\(\small{③}\)の解だから、解と係数の関係より
\(\small{ \ \alpha+\beta=k \ }\)
\(\small{ \ \alpha \beta=\displaystyle \frac{k^2-2}{2} \ }\)

(3)直線\(\small{ \ l \ }\)の傾きは\(\small{ \ -1 \ }\)より\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の長さは
\(\small{ \ (\beta-\alpha) \ }\)×\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \beta-\alpha&=&\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha \beta}\\
&=&\sqrt{k^2-4\cdot\displaystyle \frac{k^2-2}{2}}\\
&=&\sqrt{4-k^2} \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \mathrm{PQ}=\sqrt{8-2k^2} \ }\)

(4)\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)、\(\small{\mathrm{Q} \ }\)は\(\small{ \ y=x \ }\)に関して対称の位置にあるので\(\small{ \ \mathrm{AP=AQ} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{AM}=\displaystyle \frac{|-1-1-k|}{\sqrt{2}}\\=\displaystyle \frac{|k+2|}{\sqrt{2}} \ }\)
\(\small{ \ 2\mathrm{PQ}=\mathrm{AP} \ }\)より
\(\small{ \ 4\mathrm{PQ}^2=\mathrm{AP}^2 \ }\)
\(\small{ \ 4\mathrm{PQ}^2=\mathrm{AM}^2+\mathrm{PM}^2 \ }\)
\(\small{ \ 4\mathrm{PQ}^2=\mathrm{AM}^2+\left(\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{PQ}\right)^2 \ }\)
\(\small{ \ 15\mathrm{PQ}^2=4\mathrm{AM}^2 \ }\)
\(\small{ \ 15(8-2k^2)=2(k+2)^2 \ }\)
\(\small{ \ 4k^2+k-14=0 \ }\)
\(\small{ \ (k+2)(4k-7)=0 \ }\)
\(\small{ \ -2 \lt k \lt 2 \ }\)より
\(\small{ \ \therefore k=\displaystyle \frac{7}{4} \ }\)