極限

無限等比級数

2020年6月10日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。今回は無限等比級数について学習していこう。

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無限級数

無限級数とは、無限に並ぶ数列の和のことなんだ。
この数列が等比数列のとき、無限等比級数っていう。今回はこの無限等比級数の問題を考えていこう。

無限等比級数

・部分和
\(\small{\begin{eqnarray} \mathrm{S}_n&=&a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\[3pt] &=&a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^{n-1}\\[3pt] &=&\displaystyle\sum_{k=1}^na_1r^{k-1}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ \end{eqnarray}}\)
・総和

\(\small{\begin{eqnarray} \mathrm{S}&=&a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\\[3pt] &=&a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^{n-1}+\cdots\\[3pt] &=&\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_1r^{k-1}\\[3pt] &=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_1r^{k-1}\\[3pt] &=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n\\[3pt] &=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ \end{eqnarray}}\)

特に
\(\small{ \ -1\lt r \lt1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r} \ }\)
\(\small{ \ a_1=0 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}=0 \ }\)

総和と部分和

無限等比級数に限らず無限級数の式について考えてみよう。無限級数無限に続く数列の和のことで、無限級数を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とすると\(\small{ \ \mathrm{S}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \ }\)

でもいきなりこの\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)を考えるのは難しいから、まずは\(\small{ \ n \ }\)項目までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を考えてみよう。
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}_n&=&a_1+a_2+\cdots+a_n\\[3pt]&=&\displaystyle\sum_{k=1}^na_k \ \end{eqnarray}}\)

この\(\small{ \ n \ }\)項目までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を部分和っていう。それに対して\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)のことは総和っていう。

この部分和については一般項\(\small{ \ a_n \ }\)を求めて、\(\small{ \ \displaystyle\sum \ }\)の計算をすればいいよね。数列のときに勉強した方法と同じね。

部分和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表して、その\(\small{ \ n \ }\)を無限大にして極限を考えればいいんだ。

つまり\(\small{ \ \displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n=\mathrm{S} \ }\)になるんだ。

この\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\) の表示方法はいくつかあってどれも覚えていて欲しい。
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n\\[3pt] &=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k\\[3pt] &=&\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k \ \end{eqnarray}}\)

ただ、これはあくまで表記の問題で、\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)を求める方法は、部分和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を求めて\(\small{ \ n \ }\)を無限大にして極限を求めるっていうのが基本になるからね。

等比数列の和

無限等比級数を求めるには、等比数列の部分和を求める必要があるよね。

初項\(\small{ \ a_1 \ }\)、公比\(\small{ \ r \ }\)の等比数列\(\small{ \ a_n \ }\)の和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^na_k\\[3pt]&=&\displaystyle\sum_{k=1}^na_1\cdot r^{n-1}\\[3pt]&=&\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ \end{eqnarray}}\)

ここで部分和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)には\(\small{ \ r^n \ }\)が出てくるから、総和\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)を求めるときに\(\small{ \ r \ }\)の場合分けが必要になるよね。

これは前に学習した無限等比数列の公比を場合分けするのと同じ考え方だからね。

CHECK
無限等比数列-i
無限等比数列

公比による場合分けや式変形のやり方について詳しく解説しています。

続きを見る

\(\small{ \ \displaystyle\lim_{n\to \infty}r^n \ }\)が収束するのは\(\small{ \ -1\lt r\leqq1 \ }\)のときだけど、\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ }\)だから、\(\small{ \ -1\lt r \lt 1 \ }\)と\(\small{ \ r=1 \ }\)は別で考えないといけない。

そもそも\(\small{ \ r=1 \ }\)のとき、\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ }\)じゃなくて\(\small{ \ \mathrm{S}_n=na_1 \ }\)ってなる。
だから\(\small{ \ r=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n=\infty \ }\)になる。

\(\small{ \ -1\lt r\lt 1 \ }\)のとき、\(\small{ \ \displaystyle\lim_{n\to \infty}r^n=0 \ }\)だから\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}=\displaystyle\frac{a_1}{1-r} \ }\)

\(\small{ \ r\gt1 \ }\)のときは\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \ }\)から\(\small{ \ \displaystyle\lim_{n\to \infty}\mathrm{S}_n=\infty \ }\)になる。

\(\small{ \ r\leqq -1 \ }\)のときは振動するから極限なし。

だから無限等比級数が収束するのは\(\small{ \ -1\lt r\lt 1 \ }\)のときで、極限値\(\small{ \ \displaystyle\frac{a_1}{1-r} \ }\)になるんだ。

等比数列の和は\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}(r\gt1) \ }\)と\(\small{ \ \displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}(r\lt1) \ }\)で使い分けてほしいけど、\(\small{ \ a_1\neq0 \ }\)で収束するとき\(\small{ \ -1\lt r\lt 1 \ }\)だから、極限のときは\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}(r\lt1) \ }\)が使われることが多いんだ。

例題を確認
問題解答

次の無限等比級数が収束するような\(\small{ \ x \ }\)の範囲を求めよ。またそのときの和も求めよ。
(1)\(\small{ \ 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots \ }\)
(2)\(\small{ \ (2-x)+x(2-x)+x^2(2-x)+\cdots \ }\)

(1)\(\small{ \ S=1+2x+4x^2+8x^3+\cdots \ }\)とする
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\cdot(2x)^{k-1}\\[3pt]&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{1-(2x)^n}{1-2x} \ \end{eqnarray}}\)
これが収束するのは\(\small{ \ -1\lt 2x \lt 1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore -\displaystyle\frac{1}{2}\lt x \lt \displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
このとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{1-(2x)^n}{1-2x}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{1}{1-2x} \end{eqnarray} }\)

(2)\(\small{ \ S=(2-x)+x(2-x)+x^2(2-x)+\cdots \ }\)とする
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2-x)\cdot x^{k-1} \ }\)
これが収束するのは\(\small{ \ 2-x=0 \ }\)のとき、または\(\small{ \ -1\lt x\lt1 \ }\)のとき
\(\small{ \ 2-x=0 \ }\)、つまり\(\small{ \ x=2 \ }\)のとき
\(\small{ \ \mathrm{S}=0 \ }\)
\(\small{ \ -1\lt x\lt1 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2-x)\cdot x^{k-1}\\[3pt] &=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{(2-x)(1-x^n)}{1-x}\\[3pt] &=&\displaystyle\frac{2-x}{1-x} \ \end{eqnarray}}\)

point
公比が\(\small{ \ -1\lt r\lt1 \ }\)のっとき和は収束するけど、初項が\(\small{ \ 0 \ }\)のときも和\(\small{ \ 0 \ }\)になって収束するから注意しよう。
でも初項\(\small{ \ 0 \ }\)のとき、ずっと\(\small{ \ 0 \ }\)が並ぶからこれを等比数列っていうか微妙だけどね笑。

循環小数と無限等比数列

循環小数は\(\small{ \ 0.36363636363636\cdots \ }\)のように小数部分のある桁から同じ数が無限に繰り返される小数で、これを記号で\(\small{ \  0.\dot{3}\dot{6} \ }\)って書く。

循環小数を分数にするのは
\(\small{\begin{eqnarray} \ 100x&=&36.3636363636\cdots\\x&=&\phantom{0}0.3636363636\cdots\\ \hline99x&=&36 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 10^n \ }\)倍して循環する部分を消して
\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{36}{99}=\displaystyle\frac{4}{11} \ }\)って教わったことあるんじゃないかな。

今回はこの循環小数を無限等比級数として考えてみよう。
\(\small{ \ 0.\dot{3}\dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+\cdots \ }\)って書けて、初項\(\small{ \ 0.36 \ }\)公比\(\small{ \ 0.01 \ }\)の無限等比数列の和ってみることができるよね。

\(\small{\begin{eqnarray} \ 0.\dot{3}\dot{6}&=&0.36+0.0036+0.000036+\cdots\\[3pt]&=&0.36+0.36\cdot0.01+0.36\cdot(0.01)^2+\cdots\\[3pt]&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}0.36\cdot(0.01)^{k-1}\\[3pt]&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n0.36\cdot(0.01)^{k-1}\\[3pt]&=&\displaystyle\lim_{n\to \infty}\displaystyle\frac{0.36\left\{1-(0.01)^n\right\}}{1-0.01}\\[3pt]&=&\displaystyle\frac{0.36}{0.99}\\[3pt]&=&\displaystyle\frac{4}{11} \ \end{eqnarray}}\)
循環小数は循環する部分(循環節)に注意して無限等比級数として値を求めよう。

point
循環小数を無限等比級数じゃなく\(\small{ \ x \ }\)とおいて差し引く場合、循環節が何桁かによって\(\small{ \ 10 \ }\)倍したり、\(\small{ \ 100 \ }\)倍したりするから注意しよう。
\(\small{\begin{eqnarray} \ 10x&=&3.33333\cdots\\x&=&0.33333\cdots\\ \hline9x&=&3 \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ 100x&=&36.36363\cdots\\x&=&\phantom{0}0.36363\cdots\\ \hline99x&=&36 \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ 1000x&=&384.384384\cdots\\x&=&\phantom{00}0.384384\cdots\\ \hline999x&=&384 \ \end{eqnarray}}\)

Point 無限等比級数

①無限等比級数はまず部分和を求める
②和が収束するとき、\(\small{ \ a_1=0 \ }\)か\(\small{ \ -1\lt r \lt1 \ }\)

次は入試レベルにチャレンジ!
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ x \ }\)を実数として、無限等比級数\(\small{ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx(x-2)} \ }\)を考える。
(1)この無限等比級数が収束するような\(\small{ \ x \ }\)の条件を求めよ。
(2)この無限等比級数が収束し、その和が\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{e-1} \ }\)に等しくなるような\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx(x-2)} \ }\)は公比\(\small{ \ e^{x(x-2)} \ }\)の無限等比数列だから
\(\small{ \ 0\lt e^{x(x-2)} \lt 1 \ }\)より
\(\small{ \ x(x-2)\lt0 \ }\)
よって\(\small{ \ 0\lt x \lt 2 \ }\)

(2)(1)より\(\small{ \ 0\lt x \lt 2\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx(x-2)}\\[3pt] =\displaystyle\lim_{l \to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{l}e^{nx(x-2)}\\[3pt] =\displaystyle\lim_{l \to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{l}e^{x(x-2)}\cdot\left(e^{x(x-2)}\right)^{n-1}\\[3pt] =\displaystyle\lim_{l \to \infty}\displaystyle\frac{e^{x(x-2)}\left\{1-\left(e^{x(x-2)}\right)^n\right\} }{1-e^{x(x-2)}}\\[3pt] =\displaystyle\frac{e^{x(x-2)}}{1-e^{x(x-2)}} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{e^{x(x-2)}}{1-e^{x(x-2)}}=\displaystyle\frac{1}{e-1} \ }\)
\(\small{ \ (e-1)e^{x(x-2)}=1-e^{x(x-2)} \ }\)
\(\small{ \ e^{x(x-2)+1}=1 \ }\)
\(\small{ \ x(x-2)+1=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1 \ }\)
これは\(\small{ \ ① \ }\)を満たす

point
等比数列の一般項は\(\small{ \ a_n=a_1\cdot r^{n-1} \ }\)でこのとき部分和は\(\small{ \ S_n=\displaystyle\frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \ }\)になる。
これを使いやすくするように\(\small{ \ a_n=3^{n+1} \ }\)は\(\small{ \ a_n=9\cdot3^{n-1} \ }\)の形にして、初項と公比をはっきりさせるようにしよう。

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リンス

名前:リンス
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