こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はシンプソンの公式の証明について学習していこう。
シンプソンの公式
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2) \ }\)
ただし\(\small{ \ h=\displaystyle\frac{x_2-x_0}{2} \ }\)
シンプソンの公式とは
シンプソンの公式とは
上にもあるように近似値を得る方法だから本当は誤差が生じることになるんだけど、三次以下の多項式関数なら誤差なしで成り立つことが言えるんだ。
シンプソンの公式の証明
\(\small{ \ f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D \ }\)とする。
=\displaystyle\int_{a}^{b}(Ax^3+Bx^2+Cx+D)dx\\
=\left[\displaystyle \frac{1}{4}Ax^4+\displaystyle \frac{1}{3}Bx^3+\displaystyle \frac{1}{2}Cx+dx\right]_{a}^{b}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}\left[3Ax^4+4Bx^3+6Cx+12Dx\right]_{a}^{b}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}\left\{3A\left(b^4-a^4\right)+4B\left(b^3-a^3\right)+6C\left(b^2-a^2\right)+12D\left(b-a\right)\right\}\\
=\displaystyle \frac{b-a}{12}\left\{3A\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)+4B\left(a^2+ab+b^2\right)+6C\left(a+b\right)+12D\right\}\\
=\displaystyle \frac{b-a}{6}\left\{\displaystyle \frac{3}{2}A\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D\right\} \ }\)
\(\small{ \ f(a)=Aa^3+Ba^2+Ca+D \ }\)
\(\small{ \ f(b)=Ab^3+Bb^2+Cb+D \ }\)
=A\left\{a^3+b^3+\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)^2\right\}+B\left\{a^2+b^2+(a+b)^2\right\}+C\left\{a+b+2(a+b)\right\}+6D\\
=\displaystyle\frac{3}{2}A(a^3+b^3+a^2b+ab^2)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D\\
=\displaystyle\frac{3}{2}A(a+b)(a^2+b^2)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D}\)

またこの式の文字を変換した
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2) \ }\)
(ただし\(\small{ \ h=\displaystyle\frac{x_2-x_0}{2} \ }\))
も参考書等に取り上げられているけど、同じ意味になるからね。