図形と方程式

直線の方程式

2016年6月1日

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は直線の方程式について学習していこう。

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直線の方程式

中学生のとき教わった直線の方程式(\(\small{ \ 1 \ }\)次関数)\(\small{ \ y=mx+n \ }\)ってあったよね。
\(\small{ m \ }\)が傾きで、\(\small{n \ }\)が\(\small{ \ y \ }\)切片」ってやつ。

今でもこの式を利用して問題を解いている人がほとんどだと思うけど、この直線の方程式が全ての直線を表すことが出来るかというと、そうとは言えないんだ。今回は高校数学での直線の方程式を考えていこう。

直線の方程式

・直線の方程式(一般形)
\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)または\(\small{ \ y=mx+n、x=p \ }\)

・傾き\(\small{ \ m \ }\)で\(\small{ \ (a、b) \ }\)を通る直線
\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)

・\(\small{ \ (x_1、y_1), \ (x_2、y_2) \ }\)を通る直線
(1)\(\small{ \ x_1\neq x_2 \ }\)のとき
\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \ }\)
(2)\(\small{ \ x_1=x_2 \ }\)のとき
\(\small{ \ x=x_1 \ }\)

直線の方程式ax+by+c=0とy=mx+n

\(\small{ \ y=mx+n \ }\)ではすべての直線を表すことができない。

それはなぜかって言うと\(\small{ \ m \ }\)と、\(\small{ n \ }\)に色々な数字を代入しても\(\small{ \ x=c \ }\)という\(\small{ \ y \ }\)軸に平行な直線を表すことは出来ないんだ。

だから直線の方程式を求めるときは、全ての直線を表すことができる\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)を利用すればいいんだけど、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)に比べると文字多くて嫌になるよね。

だからとりあえず、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)として問題を解いて、これとは別で\(\small{ \ x=p \ }\)を考えてあげればいいんだ。

\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)の形だと傾きや\(\small{ \ y \ }\)切片がすぐにはわからないから、いつも\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の形に変形して、傾きや\(\small{ \ y \ }\)切片を求めよう。

直線の方程式の形

直線の方程式の形で一番利用するのは\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)かな。

これは\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を通る傾き\(\small{ \ m \ }\)の直線になる。確かに\(\small{ \ x=a \ }\)を代入すると\(\small{ \ y=b \ }\)になるから\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を通るし、展開すると\(\small{ \ x \ }\)の係数は\(\small{ \ m \ }\)だから傾き\(\small{ \ m \ }\)になるよね。

中学生みたいに「傾き\(\small{ \ 2 \ }\)だから、\(\small{ \ y=2x+b \ }\)。\(\small{ \ (1、3) \ }\)を通るから代入して\(\small{ \ b \ }\)を求めて〜・・・」みたいなことはせずに\(\small{ \ y=2(x-1)+3=2x+1 \ }\)とすぐに出せるようにしておこう。

point
教科書に書いてある\(\small{ \ y-b=m(x-a) \ }\)だと移行するの手間だから、あらかじめ\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)で覚えておこう。

2点を通る直線の方程式

\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ (x_1、y_1), \ (x_2、y_2) \ }\)を通る直線について考えてみよう。
\(\small{ \ x_1\neq x_2 \ }\)のとき、直線の傾きは\(\small{ \ y \ }\)の変化量/\(\small{ \ x \ }\)の変化量\(\small{ \ \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \ }\)になるから、傾き\(\small{ \ \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \ }\)で\(\small{ \ (x_1、y_1) \ }\)を通る直線\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \ }\)になる。

ちなみにこれって通る点を\(\small{ \ (x_2、y_2) \ }\)に変えても同じ直線になるからどっちの点を代入してもいいからね。

次に\(\small{ \ x_1=x_2 \ }\)のときは傾きの分母が0になるから傾きが存在しない、つまり\(\small{ \ x=x_1 \ }\)って直線になるんだ。

傾きと切片

直線は傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を式から簡単に求めることができるから、傾きと切片に注目しよう。これがホント大事。図を書くのも傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片が分かっているほうがいいよね。さら\(\small{ \ x \ }\)切片までわかってると、もっといいけどね。

\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)の場合も傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片がはっきりしていないと図が書きにくいから、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の形に変形して、傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を確認して図を書こう。

例題を確認
問題解答

次の直線の方程式を求めよ。
(1)\(\small{ \ (2、3) \ }\)を通り\(\small{ \ x \ }\)軸に垂直な直線
(2)\(\small{ \ (2、5)、(4、9) \ }\)を通る直線

(1)\(\small{ \ (2、3) \ }\)を通り\(\small{ \ x \ }\)軸に垂直な直線は\(\small{ \ x=2 \ }\)

直線の方程式-01

(2)\(\small{ \ (2、5)、(4、9) \ }\)を通るので
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&\displaystyle \frac{9-5}{4-2}(x-2)+5\\
&=&2x+1 \ \end{eqnarray}}\)

直線の方程式-02

point
今回が学習している単元は図形と方程式って名前の通り、求めた方程式を図に素早く書けることが重要。直線が\(\small{ \ 3 \ }\)本あれば三角形が、\(\small{ \ 4 \ }\)本あれば四角形が書けるから、簡単な問題こそ図を素早く書けるように練習しておこう。

Point 直線の方程式

①直線の方程式は傾きと\(\small{ \ y \ }\)切片を求める
②図を素早く書けるようにしておく

次は入試レベルの問題にチャレンジ!
入試レベルにチャレンジ
問題解答

関数\(\small{ \ f(x)=-|2x-1|+1(0\leqq x \leqq1) \ }\)を用いて
\(\small{ \ g(x)=-|2f(x)-1|+1(0\leqq x \leqq1) \ }\)を考える。
\(\small{ \ y=g(x) \ }\)のグラフをかけ。

\(\small{ \ f(x)=-|2x-1|+1 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|2(-|2x-1|+1)-1|+1\\
&=&-|-2|2x-1|+1|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(i)\(\small{ \ 0\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|2(2x-1)+1|+1\\
&=&-|4x-1|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(a)\(\small{ \ 0\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{4} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=(4x-1)+1=4x \ }\)
(b)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{4}\leqq x\lt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=-(4x-1)+1=-4x+2 \ }\)
(ii)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\leqq 1 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ g(x)&=&-|-2(2x-1)-1|+1\\
&=&-|-4x+3|+1 \ \end{eqnarray}}\)
(c)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\leqq x\lt \displaystyle \frac{3}{4} \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=-(-4x+3)+1=4x-2 \ }\)
(d)\(\small{ \ \displaystyle \frac{3}{4}\leqq x\leqq 1 \ }\)のとき
\(\small{ \ g(x)=(-4x+3)+1=-4x+4 \ }\)

直線の方程式-03

point
絶対値があるだけで計算量が倍になるから、絶対値を含む問題の場合は、しっかりと場合分けを行って丁寧に計算をしよう。

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リンス

名前:リンス
職業:塾講師/家庭教師
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