和記号Σの証明

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はいろいろな和記号\(\small{ \ \displaystyle \sum \ }\)の証明について学習していこう。

和記号Σの証明

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=1+2+\cdots+n \ }\)として、これを逆から書いた
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n+\cdots+2+1 \ }\)を加えるとどの項も\(\small{ \ n+1 \ }\)になるよね。

これを整理して
\(\small{ \ 2\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=n(n+1) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

これを整理して
\(\small{ \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=n^3+3n^2+3n-3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&=&(n+1)^3-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)-n-1\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

これを整理して

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{ \ 4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=n^2(n+1)^2 \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4 \ }\)の証明

\(\small{ \ (k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

これを整理して

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より

よって