微分と積分の関係

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は微分と積分の関係について学習していこう。

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微分と積分(微積)

微分と積分の関係について考えてみよう。
「微積」って聞いたことあるよね。微分積分の略のことだよね。微分法と積分法って別単元になるけど、切っても切れない関係だから、微積ってまとめて言うんだ。

微分法・積分法を区別することのほうが少ないから積分を勉強するときは、合わせて微分もきちんと復習しておこう。

定期試験でも微分がよくわかってないと解けない問題って積分には出てくるし、入試だと微積は融合問題で出題されることがほとんどだからね。

微分と積分

微分(導関数を求めること)
\(\small{ \ f(x)→f'(x) \ }\)

積分(原始関数を求めること)
\(\small{ \
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f(x)→F(x)\\
F(x)=\displaystyle \int f(x) \ dx
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

\(\small{ \
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f'(x)→f(x)\\
f(x)=\displaystyle \int f'(x) \ dx
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

積分の計算
\(\small{ \ \displaystyle \int x^n \ dx=\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \ }\)(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)

原始関数とは

\(\small{ \ x \ }\)で微分すると\(\small{ \ f(x) \ }\)になる関数を\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数っていうんだ。

つまり\(\small{ \ F'(x)=f(x) \ }\)のとき\(\small{ \ F(x) \ }\)は\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数ってことになる。

ただこの原始関数って無数にあって、例えば
\(\small{ \ (x^2+2x+3)'=2x+2 \ }\)だし、
\(\small{ \ (x^2+2x-4)'=2x+2 \ }\)だから
\(\small{ \ x^2+2x+3 \ }\)も\(\small{ \ x^2+2x-4 \ }\)も\(\small{ \ 2x+2 \ }\)の原始関数になるよね。

だから原始関数は無数にあるっていっても違うのは定数項の部分だけってことになるからね。

たしかに関数を微分したら定数項は無視できるもんね。

不定積分と積分定数

\(\small{ \ f(x) \ }\)の一つの原始関数を\(\small{ \ F(x) \ }\)とすると、\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数はすべて「\(\small{ \ F(x)+}\)定数」の形で表されるよね。

この定数を積分定数といって、記号は\(\small{ \ C \ }\)を使う。

つまり「\(\small{ \ f(x) \ }\)の原始関数は\(\small{ \ F(x)+C \ }\)(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)」になるんだ。

このことを数式にすると「\(\small{ \ \displaystyle \int f(x) \ dx=F(x)+C \ }\) (\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)」って書く。
この\(\small{ \ \displaystyle \int f(x) \ dx \ }\)を不定積分っていうんだ。

つまり原始関数と不定積分は同じ関数のことで、不定積分(原始関数)を求めることを積分するって言うんだ

ちなみに\(\small{ \ \displaystyle \int f(x) \ dx \ }\)は「インテグラル エフエックス ディーエックス」って読むからね。

微分するっていうのは、導関数を求めることだから
\(\small{ \ F(x)→F'(x)=f(x) \ }\)
積分するっていうのは、不定積分(原始関数)を求めることだから
\(\small{ \ f(x)→F(x) \ }\) \(\small{ \ F(x)=\displaystyle \int f(x) \ dx \ }\)

だから積分することと微分することは互いに逆の計算ってことが言えるんだ。

不定積分の計算

積分することと微分することは互いに逆の計算ってことに注意すると、
\(\small{ \ \displaystyle \int x^n \ dx=\displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \ }\)(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)
になる。

\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1} \ }\)を微分すると\(\small{ \ x^n \ }\)になるよね。

さらに積分の計算は\(\small{ \ \displaystyle \int kf(x) \ dx=k\displaystyle \int f(x) \ dx \ }\)になるし、\(\small{ \ \displaystyle \int\left\{f(x)\pm g(x)\right\} \ dx=F(x)\pm G(x)+C \ }\)も成り立つ。

だから、\(\small{ \ \displaystyle \int (2x^2-3x-2) \ dx \ }\)の計算は

\(\small{ \ \displaystyle \int (2x^2-3x-2) \ dx=\displaystyle \int 2x^2 \ dx-\displaystyle \int3x \ dx-\displaystyle \int2 \ dx \ }\)

ってかけるから、

\(\small{ \ \displaystyle \int (2x^2-3x-2) \ dx=\displaystyle\frac{2}{3}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2-2x+C \ }\)

(\(\small{ \ C \ }\)は積分定数)が成り立つからね。

ちなみに\(\small{ \ \displaystyle \int 1 \ dx \ }\)は\(\small{ \ 1 \ }\)を省略して\(\small{ \ \displaystyle \int \ dx \ }\)って書くことが多いから覚えておこう。

積分する文字

積分するときによく\(\small{ \ \displaystyle \int f(x) \ dx \ }\)の\(\small{ \ dx \ }\)を忘れる人がいるけど、この\(\small{ \ dx \ }\)ってすごく重要だから忘れないでね。

\(\small{ \ \displaystyle \int xt \ dx=\displaystyle\frac{1}{2}tx^2+C \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \int xt \ dt=\displaystyle\frac{1}{2}xt^2+C \ }\)

つまり\(\small{ \ dx \ }\)なら\(\small{ \ x \ }\)で積分するし、\(\small{ \ dt \ }\)なら\(\small{ \ t \ }\)で積分するからね。

例題を確認
問題解答

(1)曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)における接線の傾きが\(\small{ \ 6x^2-6x+2 \ }\)で表される曲線のうち、点\(\small{ \ (2, \ 4) \ }\)を通るものを求めよ。

(2)\(\small{ \ f'(x)=x^2+2x-2 \ }\)で、曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)は直線\(\small{ \ y=-3x+1 \ }\)に接している。このとき\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよ。

(1)\(\small{ \ f'(x)=6x^2-6x+2 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&\displaystyle \int (6x^2-6x+2) \ dx\\
&=&2x^3-3x^2+2x+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ f(2)=4 \ }\)より
\(\small{ \ C=-4 \ }\)

(2)接点の座標を\(\small{ \ (t, \ -3t+1) \ }\)とすると
\(\small{ \ f'(t)=t^2+2t-2=-3 \ }\)
\(\small{ \ (t+1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=-1 \ }\)
よって接点の座標は\(\small{ \ (-1, \ 4) \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&\displaystyle \int (x^2+2x-2) \ dx\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2-2x+C \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ C \ }\)は積分定数
\(\small{ \ f(-1)=4 \ }\)より
\(\small{ \ \therefore C=\displaystyle\frac{4}{3} \ }\)
\(\small{ \ f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2-2x+\displaystyle\frac{4}{3} \ }\)

point
\(\small{ \ y=f(x) \ }\)の接線の傾きを関数にしたら\(\small{ \ f'(x) \ }\)になるんだよね。だから接線の傾きから元の関数を求めようと思ったら接線の傾きを積分すればいいよね。つまり\(\small{ \ \displaystyle \int f'(x) \ dx=f(x) \ }\)になるんだ。
ただこの\(\small{ \ f(x) \ }\)は積分定数を含んだ形だから、座標を代入して積分定数を求めないといけないからね。

Point 微分と積分

①「微分と積分」は「導関数を求めると不定積分(原始関数)を求める」こと
②積分の計算方法を覚える

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