2つの円の交点を通る円・直線

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2つの円の交点を通る線について学習していこう。

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2つの円の交点を通る線の方程式

問題で与えられた\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)と\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)の2つの円の交点を通る線の方程式は、片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えることで、求めることが出来るんだ。
だって、2つの線の交点は\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)と\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)を同時に満たすから、

\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \ }\)

という方程式も満たすよね。ってことは、

\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \ }\)

は2つの円の交点を通る線の方程式だって言えるよね。
ただこの\(\small{ \ k \ }\)が入った状態だと、線の方程式が確定してないから、\(\small{ \ k \ }\)を定めるために他の1点が必要になるんだ。でもそれは問題文で与えられてるはずだから、その他の1点を代入して\(\small{ \ k \ }\)を定めよう。

2つの円の交点を通る線

円\(\small{ \ C_1 \ }\)の方程式\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)
円\(\small{ \ C_2 \ }\)の方程式\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)のとき
円\(\small{ \ C_1 \ }\)と円\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点を通る円の方程式

\(\small{x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0}\)

\(\small{ \ k=-1 \ }\)のとき2つの円の交点を通る直線、\(\small{ \ k \neq -1 \ }\)のとき円の方程式になるから覚えておこう。円の方程式のとき他の1点が必要になる。

2つの円の交点を求める方法

2つの円の交点を求める場合は一度2つの円の交点を通る直線の方程式を求めて、その直線の方程式とどちらか一方の円の方程式を連立させて交点を求めよう。

例題を確認
問題解答

2円\(\small{ \ C_1:(x-1)^2+(y-3)^2=4 \ }\)と\(\small{ \ C_2:(x-4)^2+(y-1)^2=9 \ }\)がある。
次の問いに答えよ。
(1)2円\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点を通る直線の方程式を求めよ。
(2)2円\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点と\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通る円の方程式を求めよ。

(1)2円の式をそれぞれ平方形から一般形に展開して引くと

\(\small{x^2-2x+y^2-6y+6-(x^2-8x+y^2-2y+8)=0}\)

これを整理すると
\(\small{3x-2y-1=0}\)
(2)\(\small{ \ C_2 \ }\)を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えると

\(\small{(x-1)^2+(y-3)^2-4+k\lbrace (x-4)^2+(y-1)^2-9 \rbrace=0}\)

\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから代入すると
\(\small{4-8k=0}\)
\(\small{k=\displaystyle \frac{1}{2}}\)
これを式に代入して

\(\small{(x-1)^2+(y-3)^2-4+\displaystyle \frac{1}{2}\lbrace (x-4)^2+(y-1)^2-9 \rbrace=0}\)

これを整理すると
\(\small{(x-2)^2+\left(y-\displaystyle \frac{7}{3}\right)^2=\displaystyle \frac{25}{9}}\)

point
2つの円の交点と他の1点を通る円の方程式を求める場合、2つの円の交点を求めてから円の方程式を導くことも出来るけど、計算に時間がかかりすぎるし、2つの円の交点の座標は基本的には綺麗な数ではないだから、計算がとても複雑になるし、計算ミスする恐れがあるよね。だから今回学習したこの方法はで解けるようにしておかないといけない。計算も簡単で時間も短縮出来る、いいことだらけのやり方だからね!

Point

①2つの円の交点を通る円の方程式は片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えよう
②\(\small{ \ k=-1 \ }\)の時は、2つの円の交点を通る直線になる

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