階差数列

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は階差数列について学習していこう。

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階差数列とは?

階差数列とは数列の各項の差の数列のこと。
\(\small{ \ a_1、a_2、a_3、a_4、a_5\cdots、a_n \ }\)があって、\(\small{ \ a_2-a_1=b_1 \ }\)、\(\small{ \ a_3-a_2=b_2 \ }\)、\(\small{ \ a_4-a_3=b_3 \ }\)、\(\small{ \ a_5-a_4=b_4 \ }\)とすると
\(\small{ \ a_2=a_1+b_1 \ }\)
\(\small{ \ a_3=a_2+b_2=a_1+b_1+ b_2\ }\)
\(\small{ \ a_4=a_3+b_3=a_1+b_1+ b_2+b_3\ }\)
\(\small{ \ a_5=a_4+b_4=a_1+b_1+ b_2+b_3+b_4\ }\)
\(\small{ \ \hspace{ 60pt }\vdots }\)
\(\small{ \ a_n=a_{n-1}+b_{n-1}=a_1+b_1+ b_2+\cdots+b_{n-1}\ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k \ }\)

この数列\(\small{ \ \left\{b_n\right\} \ }\)を数列\(\small{ \ \left\{a_n\right\} \ }\)の階差数列っていうんだ。

階差数列

\(\small{ \ a_n=a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k \ }\)
だだし、\(\small{ \ b_n=a_{n+1}-a_n \ }\)

ただ、この式は\(\small{ \ n-1 \ }\)を含むから\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のときに限る。だから\(\small{ \ n=1 \ }\)のときは、別で成り立つことを言わないといけない。

数が並べてある問題は階差数列?

一般項を求める問題で、初項からいくつかの数字が並べてある問題の場合、その一般項は等差数列か等比数列か階差数列になる場合がほとんどなんだ。

だから、まずは等差数列や等比数列じゃないか確認するようにしよう。

どちらでもなかったら各項の差を書き出してみよう。すると等差数列か等比数列になるはずだ。

第一階差数列と第二階差数列

\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)のことを第一階差数列、\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{c_n\} \ }\)のことを第二階差数列っていうんだ。

その名前は重要じゃないんだけど、第一階差数列を書き出しても等差数列や等比数列になってなかったら、第二階差数列を書き出してみよう

第二階差数列が等差数列や等比数列になってなかったら、まずは差の計算ミスをしていないか再確認しよう。

それでもミスがなかったらもう一度階差数列を考えてみよう。ほとんどの問題は第二階差数列までで等差数列か等比数列になるはずだからね。

数列で数が並んである問題は等差数列か等比数列か階差数列のはずだから、等差でも等比でもない場合、差を丁寧に計算して階差数列を求めよう。

例題を確認
問題解答

次の数列の一般項を求めよ。
(1)\(\small{ \ 5、6、8、12、20、36、\cdots \ }\)
(2)\(\small{ \ 1、2、4、9、19、36、\cdots \ }\)

(1)\(\small{ \ 5、6、8、12、20、36、\cdots \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は\(\small{ \ 1、2、4、8、16、\cdots \ }\)となり、\(\small{ \ b_n=2^{n-1} \ }\)である。
よって\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k\\
&=&5+\displaystyle \frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}+4 \ \end{eqnarray}}\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす。よって\(\small{ \ a_n=2^{n-1}+4 \ }\)

(2)\(\small{ \ 1、2、4、9、19、36、\cdots \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は\(\small{ \ 1、2、5、10、17、\cdots \ }\)、さらに\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{c_n\} \ }\)は\(\small{ \ 1、3、5、7、\cdots \ }\)となり、\(\small{ \ c_n=2n-1 \ }\)である。
よって\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ b_n&=&b_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } c_k\\
&=&1+2\cdot \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}-(n-1)\\
&=&n^2-2n+2 \ \end{eqnarray}}\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす。
よって\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k\\
&=&1+\displaystyle \frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)-2\cdot \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+2(n-1)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}(2n^3-9n^2+19n-6) \ \end{eqnarray}}\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす。

point
階差数列が等差数列になる場合、第一階差数列が等差数列のとき\(\small{ \ a_n=pn^2+qn+r \ }\)の形に、第二階差数列が等差数列のとき\(\small{ \ a_n=pn^3+qn^2+rn+s \ }\)の形になる。

Point 階差数列

①数字が並んでいる数列の問題は等差・等比・階差のどれか。
②第一階差数列が等差か等比数列にならなかったら第二階差数列を求めよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

数列\(\small{ \ 2、6、12、20、30、42、\cdots \ }\)について、次の問いに答えよ。
(1)この数列の第\(\small{ \ n \ }\)項\(\small{ \ a_n \ }\)と初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を求めよ。
(2)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_1}+\displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_2}+\displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_3}+\cdots+\displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_n} \ }\)を求めよ。

(1)\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の階差数列\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は\(\small{ \ 4、6、8、10、12、\cdots \ }\)より\(\small{ \ b_n=2n+2 \ }\)
\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_k\\
&=&2+2\cdot \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+2(n-1)\\
&=&n^2+n \ \end{eqnarray}}\)
これは\(\small{ \ n=1 \ }\)のときも満たす。
よって\(\small{ \ a_n=n^2+n \ }\)
また初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は

\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}_n&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }(k^2+k)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \ \end{eqnarray}}\)

(2)この和の数列の一般項は

\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_n}&=&\displaystyle \frac{3}{n(n+1)(n+2)}\\
&=&\displaystyle \frac{3}{2}\left\{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} \ \end{eqnarray}}\)

よって求める値は

\(\small{ \begin{eqnarray}&&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{\mathrm{S}_k}\\
&=& \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{3}{2}\left\{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}-\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}\\
&=&\displaystyle \frac{3}{2}\left[ \left(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}-\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}-\displaystyle \frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots+\left\{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} \right] \\
&=&\displaystyle \frac{3}{2}\left\{\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} \\
&=&\displaystyle \frac{3n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \ \end{eqnarray}}\)

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