こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は初項に\(\small{ \ n \ }\)を含む数列の和の求め方について学習していこう。
初項に\(\small{ \ n \ }\)を含む数列の和
今まで教わった数列って\(\small{ \ n \ }\)項目を考えるから\(\small{ \ n \ }\)が含まれてたよね。初項や第2項目は数字の問題ばかりだった。
だけど初項に\(\small{ \ n \ }\)が含まれる数列もあるんだ。もちろん\(\small{ \ n \ }\)項目にも\(\small{ \ n \ }\)が含まれてるっていう難しい問題。
今回はこの数列について考えてみよう。
初項から数えて\(\small{ \ k \ }\)項目を一般項\(\small{ \ a_{n-k,k} \ }\)とする。
\(\small{ \ n \ }\)を代入するたびに初項が変わる
例えば
の場合、\(\small{ \ \mathrm{S}_3=1\cdot 3 +2\cdot 2+3\cdot 1 \ }\)で\(\small{ \ \mathrm{S}_4=1\cdot 4 +2\cdot 3+3\cdot2+4\cdot1 \ }\)になる。
この二つを見比べてみると並んでいる数が違うよね。
初項を見てみると\(\small{ \ \mathrm{S}_3 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\cdot 3 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{S}_4 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\cdot 4 \ }\)になってる。
普通の数列は初項から順に数が変化していくけど、今回は初項に\(\small{ \ n \ }\)が含まれるから\(\small{ \ n \ }\)を代入するたびに初項からすべての項で数が変化するんだ。
だから、\(\small{ \ n \ }\)の値が変化すると（例えば\(\small{ \ n=3 \ }\)から\(\small{ \ n=4 \ }\)にする）並んでいる項に同じものは一つもないことになるんだ。
一般項は\(\small{ \ a_n \ }\)じゃなくて\(\small{ \ a_k \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)が初項に含まれているから、一般項を\(\small{ \ n \ }\)番目にすると、初項との関係することになるから\(\small{ \ n \ }\)を変化させるたびに初項も変化することになって、一般的な項にならない。
だから、初項と無関係な\(\small{ \ k \ }\)項目を一般項にしよう。
すると求める和の値は、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の公式で\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)までを代入するから、一般項に含まれる\(\small{ \ n \ }\)は定数として扱うことになるよ。
次の値を求めよ。
一般項を\(\small{ \ a_k \ }\)とすると左側は初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 1 \ }\)の等差数列、右側は初項\(\small{ \ n \ }\)公差\(\small{ \ -1 \ }\)の等差数列だから\(\small{ \ a_k=k \cdot (n-k+1) \ }\)となる。
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot (n-k+1) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left\{-k^2+(n+1)k\right\} \ }\)
\(\small{ \ =-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 +(n+1)\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
Point 初項にnを含む数列の和
①一般項は\(\small{ \ k \ }\)項目を求める
②\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)の\(\small{ \ n \ }\)は前にくくり出す
中心が同じで半径が等しい円板を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の周を\(\small{ \ n \ }\)等分する点に\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)は時計回りに、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)は反時計回りに順に、\(\small{ \ 1、2、\cdots、n \ }\)という番号をつける。ただし、\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)以上の整数とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の番号\(\small{ \ 1 \ }\)を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の番号\(\small{ \ x \ }\)に合わせたときの対応する番号どうしの積の総和\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)について答えよ。
(2)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)の簡単な式で表せ。
(3)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)が最大となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最大値および最小となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最小値を求めよ。
(1)
(2)
\(\small{ \ =-\displaystyle \frac{n}{2}x^2+\displaystyle \frac{n^2}{2}x+\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
(3)
最小値は\(\small{ \ x=n \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
最大値は\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(7n^2+12n+8)}{24} \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n-1}{2}、\displaystyle \frac{n+1}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(n+1)(7n+5)}{24} \ }\)
