初項にnを含む数列の和の求め方

次の値を求めよ。

一般項を\(\small{ \ a_k \ }\)とすると左側は初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 1 \ }\)の等差数列、右側は初項\(\small{ \ n \ }\)公差\(\small{ \ -1 \ }\)の等差数列だから\(\small{ \ a_k=k \cdot (n-k+1) \ }\)となる。

\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot (n-k+1) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left\{-k^2+(n+1)k\right\} \ }\)
\(\small{ \ =-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 +(n+1)\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k \ }\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)

中心が同じで半径が等しい円板を\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の周を\(\small{ \ n \ }\)等分する点に\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)は時計回りに、\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)は反時計回りに順に、\(\small{ \ 1、2、\cdots、n \ }\)という番号をつける。ただし、\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)以上の整数とする。\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の番号\(\small{ \ 1 \ }\)を\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の番号\(\small{ \ x \ }\)に合わせたときの対応する番号どうしの積の総和\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)について答えよ。

(2)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)の簡単な式で表せ。
(3)\(\small{ \ \mathrm{S}(x) \ }\)が最大となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最大値および最小となるときの\(\small{ \ x \ }\)の値と最小値を求めよ。

(1)

(2)

\(\small{ \ =-\displaystyle \frac{n}{2}x^2+\displaystyle \frac{n^2}{2}x+\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
(3)

最小値は\(\small{ \ x=n \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \ }\)
最大値は\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(7n^2+12n+8)}{24} \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{n-1}{2}、\displaystyle \frac{n+1}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{n(n+1)(7n+5)}{24} \ }\)