三角比の方程式と不等式(基本)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角比の方程式と不等式(基本)について学習していこう。

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単位円を利用した三角比の方程式と不等式の解き方

三角比の方程式や不等式から角度を求める問題の場合は単位円を利用して問題を解いていくようにしよう。問題演習をこなして単位円を扱うことに慣れることですばやく問題を解けるようにしておくことが大切だ。

三角比と単位円

\(\small{ \ \sin\theta \ }\)
単位円上の動点の\(\small{ \ y \ }\)座標

\(\small{ \ \cos\theta \ }\)
単位円上の動点の\(\small{ \ x \ }\)座標

\(\small{ \ \tan\theta \ }\)
原点と動点を結ぶ直線と\(\small{ \ x=1 \ }\)の交点の\(\small{ \ y \ }\)座標

三角比の方程式-01

今回学習する解き方は三角比、三角関数(数学Ⅱ)で利用する方程式・不等式の基本になるから、きちんと理解して完璧に解けるようにしておく必要があるからね。

\(\small{ \ \sin \theta \ }\)(正弦)の方程式と不等式

\(\small{ \ \sin \theta= a \ }\)といった正弦の値から角度を求める三角比の方程式を解く場合は、単位円と直線\(\small{ \ y=a \ }\)の交点と原点を結ぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角がその答えになる。基本的に角度を求める問題では、三角比の表を用いて解くような問題はほとんどない
角度は有名角が答えになるから有名角の三角比の値をきちんと覚えておこう。

次に\(\small{ \ \sin \theta \geqq a \ }\)などの正弦の値から角度を求める三角比の不等式を解く場合は、単位円と直線\(\small{ \ y=a \ }\)の交点と原点を結ぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角\(\small{ \ \theta \ }\)が、与えられた不等式を満たす範囲の値がその答えになるから、この不等式を満たす範囲を単位円上に書いて答えを導こう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき次の方程式、不等式を解け。
(1)\(\small{ \ \sin \theta = \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
(2)\(\small{ \ \sin \theta \geqq \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ }\)

(1)図より\(\small{ \ \theta=30^{\circ}, \ 150^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-01

(2)図より求める範囲は\(\small{ \ 60^{\circ} \leqq \theta \leqq 120^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-02

\(\small{ \ \cos \theta \ }\)(余弦)の方程式と不等式

\(\small{ \ \cos \theta= a \ }\)といった余弦の値から角度を求める三角比の方程式を解く場合は、単位円と直線\(\small{ \ x=a \ }\)の交点と原点を結ぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角がその答えになる。

\(\small{ \ \cos \theta \geqq a \ }\)などの余弦の値から角度を求める三角比の不等式を解く場合は、単位円と直線\(\small{ \ x=a \ }\)の交点と原点を結ぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角\(\small{ \ \theta \ }\)が、与えられた不等式を満たす範囲の値がその答えになるから、この不等式を満たす範囲を単位円上に書いて答えを導こう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき次の方程式、不等式を解け。
(1)\(\small{ \ \cos \theta = \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
(2)\(\small{ \ \cos \theta \leqq \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ }\)

(1)図より\(\small{ \ \theta=60^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-03

(2)図より求める範囲は\(\small{ \ 30^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-04

\(\small{ \ \tan \theta \ }\)(正接)の方程式と不等式

\(\small{ \ \tan \theta= a \ }\)といった正接の値から角度を求める三角比の方程式を解く場合は、直線\(\small{ \ x=1 \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ a) \ }\)と原点を結ぶ直線と単位円との交点と原点をむすぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角がその答えになる。

\(\small{ \ \tan \theta \geqq a \ }\)などの正接の値から角度を求める三角比の不等式を解く場合は、、直線\(\small{ \ x=1 \ }\)上の点\(\small{ \ (x, \ a) \ }\)と原点を結ぶ直線と単位円との交点原点を結ぶ動径の\(\small{ \ x \ }\)軸からの回転角\(\small{ \ \theta \ }\)が、与えられた不等式を満たす範囲がその答えにから、この不等式を満たす範囲を単位円上に書いて答えを導こう。
ただし、\(\small{ \ \tan 90^{\circ} \ }\)は存在しないから注意しよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき次の方程式、不等式を解け。
(1)\(\small{ \ \tan \theta = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ }\)
(2)\(\small{ \ \tan \theta \leqq -\sqrt{3}\ }\)

(1)図より\(\small{ \ \theta=30^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-05

(2)図より求める範囲は\(\small{ \ 90^{\circ} \lt \theta \leqq 120^{\circ} \ }\)

三角比の方程式と不等式(基本)-06

point
\(\small{ \ 180^{\circ} \ }\)までの三角比なら\(\small{ \ \cos \ }\)と\(\small{ \ \tan \ }\)の値は一つしかないけど、\(\small{ \ \sin \ }\)だけは二つあるから気をつけよう。

Point 三角比の方程式と不等式(基本)

①有名角の値を覚える
②不等式の範囲を単位円上に書こう

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