三角比の相互関係と値の求め方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角比の相互関係と値の求め方について学習していこう。

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三角比の相互関係から値を求めよう

三角比の\(\small{ \ \sin \theta \ }\)、\(\small{ \ \ \cos \theta \ }\)、\(\small{ \ \ \tan \theta \ }\) のうち1つの値が与えられていると、相互関係から残りの2つを求めることができるから相互関係の式は必ず覚えておかないといけないからね。この単元の中で一番重要な公式といっていいと思う。
しかも相互関係の式以外にも余角や補角の関係式もよく利用する式だからきちんと覚えておこう。

三角比の相互関係

・\(\small{ \ \sin^2 \theta +\cos^2 \theta=1 \ }\)
・\(\small{ \ \tan\theta =\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ }\)
・\(\small{ \ 1+ \tan^2 \theta =\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \ }\)
・\(\small{ \ 1+\displaystyle \frac{1}{\tan^2 \theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta} \ }\)

三角比の平方の関係式

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)が\(\small{ \ \angle \mathrm{C}=90^{\circ} \ }\)の直角三角形のとき三平方の定理から\(\small{ \ a^2+b^2=c^2 \ }\)が成り立つ。
これを両辺\(\small{ \ c^2 \ }\)で割ると\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{a}{c}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{b}{c}\right)^2=1 \ }\)
\(\small{ \ \sin \theta=\displaystyle \frac{a}{c} \ }\)、\(\small{ \ \cos \theta=\displaystyle \frac{b}{c} \ }\)だから\(\small{ \ \sin^2 \theta +\cos^2 \theta=1 \ }\)が成り立つよね。
この式を両辺\(\small{ \ \cos^2 \theta \ }\)で割ると、\(\small{ \ 1+ \tan^2 \theta =\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \ }\)になる。
また、両辺を\(\small{ \ \sin^2 \theta \ }\)で割ると\(\small{ \ 1+\displaystyle \frac{1}{\tan^2 \theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin^2 \theta} \ }\)になる。

三角比の余角の関係式

\(\small{ \ \triangle\mathrm{ABC} \ }\)が\(\small{ \ \angle \mathrm{C}=90^{\circ} \ }\)の直角三角形のとき、\(\small{ \ \angle \mathrm{A}=\theta \ }\)とすると、\(\small{ \ \angle \mathrm{B}=90^{\circ}-\theta \ }\)になるから、回転させた三角形と元の三角形を比較すると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a}{c}=\sin \theta=\cos (90^{\circ}-\theta) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{b}{c}=\cos \theta=\sin (90^{\circ}-\theta) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{a}{b}=\tan \theta=\displaystyle \frac{1}{\tan (90^{\circ}-\theta)} \ }\)

三角比の相互関係と値の求め方-01

三角比の補角の関係式

単位円を書いて\(\small{ \ \theta \ }\)と\(\small{ \ 180^{\circ}-\theta \ }\)の位置を比較してみると
\(\small{ \ \sin(180^{\circ}-\theta)=\sin \theta \ }\)
\(\small{ \ \cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos \theta \ }\)
\(\small{ \ \tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta \ }\)
がいえる。

三角比の相互関係と値の求め方-02

point
数学Ⅱの三角関数で加法定理って公式を覚えるんだけど、この公式を覚えてしまって、余角や補角はこれに代入して値を求めてもいいよ。

たまにしか出てこない式って忘れちゃうから、しっかりと覚えられてればいいけど、忘れてしまうと意味ないからね。それだったら加法定理を覚えてそれに代入してほうがいい。数学Ⅱの三角関数では加法定理覚えてなかったら0点だからね。必ず覚えてないといけない式なんだ。

\(\small{ \ \sin(90^{\circ}-\theta)=\sin90^{\circ}\cos \theta+\cos90^{\circ}\sin \theta=\cos \theta \ }\)

三角比の逆数の関係式

この式はほとんど使うこともないけど、せっかくだから一応書いておくね。三角比っていうのは全部で6つの比があって、高校数学では正弦、余弦、正接の3つを学習するんだけど、それ以外にも3つの比が定義されているんだ。
余割\(\small{ \ \csc \theta=\displaystyle \frac{1}{\sin \theta} \ }\)
正割\(\small{ \ \sec \theta=\displaystyle \frac{1}{\cos \theta} \ }\)
余接\(\small{ \ \cot \theta=\displaystyle \frac{1}{\tan \theta} \ }\)

三角比の相互関係と値の求め方-03

三角比の値の求め方

三角比のうち1つの値が与えられているとき、残りの値を相互関係から求めることができる。ただ、相互関係の二乗の式を利用するから、求めた答えには正負の2通りの答えが出るから、\(\small{ \ \theta \ }\)の範囲に注意して答えを求めよう。

\(\small{ \ \sin \theta \ }\)か\(\small{ \ \cos \theta \ }\)が与えられてるときは、\(\small{ \ \sin^2 \theta +\cos^2 \theta=1 \ }\)を使って、次に\(\small{ \ \tan\theta =\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ }\)から\(\small{ \ \tan \theta \ }\)を求めよう。

\(\small{ \ \tan \theta \ }\)が与えられてるときは、\(\small{ \ 1+ \tan^2 \theta =\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \ }\)から\(\small{ \ \cos \theta \ }\)を求めて、\(\small{ \ \tan\theta =\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ }\)から\(\small{ \ \sin \theta \ }\)を求めよう。

この手順を常に守って3つの三角比を求めよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \sin \theta=\displaystyle \frac{5}{17} \ }\)のとき、\(\small{ \ \cos \theta \ }\)と\(\small{ \ \tan \theta \ }\)の値を求めよ。だだし、\(\small{ \ \theta \ }\)は鋭角である。

\(\small{ \ \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \ }\)
\(\small{ \ \theta \ }\)は鋭角より\(\small{ \ \cos \theta \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ \cos \theta=\sqrt{1-\sin^2 \theta}\\
=\sqrt{1-\left(\displaystyle \frac{5}{17}\right)^2}\\
=\displaystyle \frac{\sqrt{17^2-5^2}}{17}\\
=\displaystyle \frac{\sqrt{(17-5)(17+5)}}{17}\\
=\displaystyle \frac{2\sqrt{66}}{17} \ }\)
\(\small{ \ \tan \theta=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\
=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{66}} \ }\)

point
\(\small{ \ \sin \theta \ }\)が根号を含まない分数の場合、\(\small{ \ \cos \theta \ }\)を求めるときは次のように計算しよう。
\(\small{ \ \cos \theta=\sqrt{1-\sin^2 \theta}\\
=\sqrt{1-\left(\displaystyle \frac{a}{b}\right)^2}\\
=\displaystyle \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\\
=\displaystyle \frac{\sqrt{(b-a)(b+a)}}{b} \ }\)
こうすることで、2乗の計算をしなくてすむし、\(\small{ \ (b-a)(b+a) \ }\)は因数分解されてるから、根号の外に括り出せる数も見つけやすいよね。

Point

①相互関係の式はきちんと覚えておこう
②三角比の求め方や余角や補角の求め方をきちんと押さえておこう

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