点と平面の距離

数学B 空間ベクトル

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は点と平面の距離の公式の証明を学習していこう。

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点と平面の距離の公式の証明

点と平面の距離の公式
\(\small{ \ (p,q,r) \ }\)と\(\small{ \ ax+by+cz+d=0 \ }\)の距離\(\small{ \ l \ }\)
\(\Large{ \ l=\displaystyle \frac{\vert ap+bq+cr+d \vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ }\)

ベクトルを用いた点と平面の距離の公式の証明

\(\small{ \ \mathrm{P}(p,q,r) \ }\)から平面に下ろした垂線の足の座標を\(\small{ \ \mathrm{A}(x_0,y_0,z_0) \ }\)とすると、求める長さ\(\small{ \ l \ }\)は
\(\small{ \ l=\sqrt{(p-x_0)^2+(q-y_0)^2+(r-z_0)^2} \cdots①\ }\)となる。
平面の方程式は\(\small{ \ ax+by+cz+d=0 \ }\)より平面の法線ベクトルは\(\small{ \ (a,b,c) \ }\)となり、このベクトルと\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AP} } \ }\)は平行だから定数\(\small{ \ k \ }\)を用いて、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AP} } =k(a,b,c)\ }\)となる。
これより\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x_0=p-ka\\
y_0=q-kb\\
z_0=r-kc
\end{array}
\right. \cdots②
\end{eqnarray} \ }\)
となる。
ここで点\(\small{ \ \mathrm{A}(x_0,y_0,z_0) \ }\)は平面上にあるから、\(\small{ \ ax_0+by_0+cz_0+d=0 \ }\)を満たす。
これに\(\small{ \ ② \ }\)を代入すると、
\(\small{ \ a(p-ka)+b(q-kb)+c(r-kc)+d=0 \ }\)
\(\small{ \ k(a^2+b^2+c^2)=ap+bq+cr+d \ }\)
\(\small{ \ \therefore k=\displaystyle \frac{ap+bq+cr+d}{a^2+b^2+c^2}\cdots③ \ }\)
また\(\small{ \ ② \ }\)を\(\small{ \ ① \ }\)に代入すると
\(\small{\begin{eqnarray}l&=&\sqrt{(p-x_0)^2+(q-y_0)^2+(r-z_0)^2} \\
&=&\sqrt{(ka)^2+(kb)^2+(kc)^2}\\
&=&\vert k \vert \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{eqnarray}}\)
これに\(\small{ \ ③ \ }\)を代入して
\(\small{ \ l=\displaystyle \frac{\vert ap+bq+cr+d \vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ }\)

点と平面の距離

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