直線や曲線の通過する領域

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は通過領域について学習していこう。

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通過領域って何?

突然通過領域って言われても困るよね。どんなものかというと
「実数\(\small{ \ t \ }\)の値が変化するとき、直線\(\small{ \ y=2tx+t^2 \ }\)の通過する領域を図示せよ。」っていうようなある定数の値が変化して、直線や曲線が移動することによって平面上を通過する部分を示すっていう問題の通過する部分を通過領域っていうんだ。実際通過領域の問題はあまり定期テストは出題されない。っていうのも\(\small{ \ t \ }\)が実数全体を動くときの問題はすごく簡単に解けるし、\(\small{ \ t \ }\)に範囲があると難易度が上がりすぎて解くのにだいぶ時間もかかるからね。だから受験生は確実におさえといてほしいけど、まだこの図形と方程式の単元を学習したばっかりって生徒は\(\small{ \ t \ }\)が実数全体を動くときの解き方を理解しておけば、とりあえずは問題ないと思う。だけどせっかくこのページを見るんだから、範囲がある問題もできるようにしてほしいってのが本当のところ。だって結局はいつかできるようにしないといけないんだもんね。

通過領域

実数\(\small{ \ t \ }\)の値が変化するとき、直線\(\small{ \ y=2tx-t^2 \ }\)の通過する領域

曲線の通過する領域-01

今回学習する通過領域の問題は二つの解き方がある。逆手流(逆像法)ってよばれる解法と変数を1つ固定する1文字固定法だ。ただ、1文字固定法だとうまく計算がややこしかったり、うまくできない問題もあるから、逆手流の方法をしっかりと覚えておこう。

逆手流・逆像法

\(\small{ \ y=2tx-t^2 \ }\)が\(\small{ \ (1, \ 1) \ }\)を通過するとき\(\small{ \ (1, \ 1) \ }\)を直線に代入すると\(\small{ \ t=1 \ }\)になるよね。このように直線が点\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)を通るとき、実数\(\small{ \ t \ }\)の値が存在すればいいから、\(\small{ \ y=2tx-t^2 \ }\)を\(\small{ \ t^2-2xt+y=0 \ }\)に変形して、この\(\small{ \ t \ }\)の二次方程式が解を持つ条件を求めることが通過する領域を求めることになるんだ。判別式\(\small{ \ D=(-2x)^2-4y \geqq0 \ }\)より求める領域は\(\small{ \ y \leqq x^2 \ }\)になる。この方法を逆手流、または逆像法っていうから覚えておこう。

1文字固定法

\(\small{ \ y=2tx-t^2 \ }\)に\(\small{ \ x=1 \ }\)を代入すると\(\small{ \ y=2t-t^2=-(t-1)^2+1 \ }\)になるよね。つまり\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき、領域は\(\small{ \ y \leqq 1 \ }\)になる。これを\(\small{ \ x \ }\)のまま考えてみると、\(\small{ \ y=-(t-x)^2+x^2 \ }\)になるから、\(\small{ \ y\leqq x^2 \ }\)になるよね。つまり\(\small{ \ x \ }\)が固定されているとき\(\small{ \ y \ }\)がどのような値をとるかを考えることで領域を導くんだ。

例題を確認
問題解答1解答2

(1)\(\small{ \ t \ }\)が実数全体を動くとき、直線\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)が通過する領域を図示せよ。
(2)\(\small{ \ t \ }\)が\(\small{ \ t\geqq -1 \ }\)を動くとき、直線\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)が通過する領域を図示せよ。

(1)\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)を変形して
\(\small{ \ t^2+tx-y=0 \ }\)
これが実数解を持てばいいいから
\(\small{ \ D=x^2+4y \geqq 0 \ }\)
\(\small{ \ y \geqq -\displaystyle \frac{1}{4}x^2 \ }\)
よって求める領域は図の斜線部分になる

曲線の通過する領域-02

(2)\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)を変形して
\(\small{ \ t^2+tx-y=0 \ }\)
これが\(\small{ \ t\geqq -1 \ }\)で少なくとも\(\small{ \ 1 \ }\)つ実数解を持てばいいいから
\(\small{ \ f(t)=t^2+xt-y \ }\)とおくと
\(\small{ \ f(t)=\left(t+\displaystyle \frac{1}{2}x\right)^2-\displaystyle \frac{1}{4}x^2-y \ }\)より
(i)\(\small{ \ -\displaystyle \frac{1}{2}x \geqq -1 \ }\)\(\small{ \ \therefore x\leqq 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ D=x^2+4y \geqq 0 \ }\)
\(\small{ \ y \geqq -\displaystyle \frac{1}{4}x^2 \ }\)
(ii)\(\small{ \ -\displaystyle \frac{1}{2}x \lt -1 \ }\)\(\small{ \ \therefore x\gt 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ f(-1)\leqq 0 \ }\)
\(\small{ \ 1-x-y\leqq 0 \ }\)
(i)(ii)より求める領域は図の斜線部分になる

曲線の通過する領域-03-1曲線の通過する領域-03

(1)\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)を変形して
\(\small{ \ y=\left(t+\displaystyle \frac{1}{2}x^2\right)^2-\displaystyle \frac{1}{4}x^2 \ }\)
\(\small{ \ \therefore y \geqq -\displaystyle \frac{1}{4}x^2 \ }\)
よって求める領域は図の斜線部分になる

曲線の通過する領域-02

(2)\(\small{ \ y=tx+t^2 \ }\)を変形して
\(\small{ \ y=\left(t+\displaystyle \frac{1}{2}x\right)^2-\displaystyle \frac{1}{4}x^2=f(t) \ }\)とする
(i)\(\small{ -\ \displaystyle \frac{1}{2}x \geqq -1 \ }\)\(\small{ \ \therefore x\leqq 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ y \geqq f(-\displaystyle \frac{1}{2}x) \ }\)
\(\small{ \ \therefore y \geqq -\displaystyle \frac{1}{4}x^2 \ }\)
(ii)\(\small{ \ -\displaystyle \frac{1}{2}x \lt -1 \ }\)\(\small{ \ \therefore x\gt 2 \ }\)のとき
\(\small{ \ y \geqq f(-1) \ }\)
\(\small{ \ y \geqq 1-x \ }\)
(i)(ii)より求める領域は図の斜線部分になる

曲線の通過する領域-03-2曲線の通過する領域-03

point
この問題だと、どちらの解法もやっていることはほとんど変わらないよね。範囲があるときは場合分けをして答えを導こう。

Point

①通過領域の問題は逆手流(逆像法)か1文字固定のどちらかを利用しよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

放物線\(\small{ \ y=x^2 \ }\)上の点\(\small{ \ P \ }\)を中心とし\(\small{ \ x \ }\)軸に接する円を考える。
\(\small{ \ P \ }\)が\(\small{ \ x \gt 0 \ }\)の範囲を動くとき、この円が通過する領域を求め、図示せよ。

(1)\(\small{ \ P (t, \ t^2)\ }\)とおく。
円の方程式は\(\small{ \ (x-t)^2+(y-t^2)^2=t^4 \ }\)
これを整理して
\(\small{ \ (2y-1)t^2+2xt-x^2-y^2=0 \ }\)
これが \(\small{ \ t \geqq 0 \ }\)に少なくとも1つの解を持てばよい
\(\small{ \ f(t)=(2y-1)t^2+2xt-x^2-y^2 \ }\)とすると

\(\small{ \ f(t)=(2y-1)\left(t+\displaystyle \frac{x}{2y-1}\right)^2-\displaystyle \frac{x^2}{2y-1}-x^2-y^2 \ }\)

(i)\(\small{ \ 2y-1\gt 0 \ \therefore y \gt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ y=f(t) \ }\)のグラフは下に凸だから\(\small{ \ f(0) \lt 0 \ }\)であればよい。
\(\small{ \ f(0)=-x^2-y^2 \ }\)よりこれは常に成り立つ。
(ii)\(\small{ \ 2y-1=0 \ \therefore y=\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ f(t)=2xt-x^2-\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)となり
\(\small{ \ y=f(t) \ }\)は直線になる
\(\small{ \ f(0)=-x^2-\displaystyle \frac{1}{4}\lt 0 \ }\)より
\(\small{ \ t\gt 0 \ }\)で\(\small{ \ f(t)=0 \ }\)となるには傾き\(\small{ \ 2x \gt 0 \ }\)であればよい
よって\(\small{ \ x\gt 0 \ }\)
(iii)\(\small{ \ 2y-1\lt 0 \ \therefore y \lt \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ y=f(t \ }\))の軸の方程式は\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{-x}{2y-1} \ }\)
a)\(\small{ \ \displaystyle \frac{-x}{2y-1} \leqq 0 \ \therefore x \leqq 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ f(0)\gt 0 \ }\)であればよい
\(\small{ \ f(0)=-x^2-y^2 \lt 0 \ }\)より不適
b)\(\small{ \ \displaystyle \frac{-x}{2y-1} \gt 0 \ \therefore x \gt 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ f(t)=0 \ }\)の判別式\(\small{ \ D \geqq 0 \ }\)であればよい
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \frac{D}{4}&=&x^2+(2y-1)(x^2+y^2)\\
&=&2y\left(x^2+y^2-\displaystyle \frac{1}{2}y \right) \geqq 0\end{eqnarray}\ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y\geqq0\\
x^2+y^2-\displaystyle \frac{1}{2}y \geqq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ \therefore x^2+\left(y-\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2\geqq\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y\leqq0\\
x^2+y^2-\displaystyle \frac{1}{2}y \leqq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを満たす\(\small{ \ x, \ y\ }\)は存在しない
(i)〜(iii)より求める領域は図の斜線部分になる。
曲線の通過する領域-04

point
この問題の場合は逆手流じゃないとうまく解けないから、場合分けに注意してしっかりと解きあげよう。

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  数学II, 図形と方程式

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