不等式と領域と最大最小(1)

(1)図より最大になるのは\(\small{ \ 2x+y =5 \ }\)、\(\small{ \ x+3y =6 \ }\)の交点を通るとき
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2x+y =5\\
x+3y =6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{9}{5}, \ y=\displaystyle \frac{7}{5} \ }\)
よって最大値は\(\small{ \ \displaystyle \frac{16}{5} \ }\)\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{9}{5}, \ y=\displaystyle \frac{7}{5} \ }\)のとき
最小になるのは\(\small{ \ x=0, \ y=0 \ }\)のとき
よって最小値は\(\small{ \ 0 \ }\)\(\small{ \ x=0, \ y=0 \ }\)のとき

(2)\(\small{ \ x^2+y^2=10 \ }\)と\(\small{ \ y=-2x+5 \ }\)を連立して解くと
\(\small{ \ (x, \ y)=(1, \ 3)、(3, \ -1) \ }\)
不等式を満たす領域は図の色の部分になるから最小になるのは\(\small{ \ (x, \ y)=(3, \ -1) \ }\)を通るとき
よって最小値は\(\small{ \ 2 \ }\)\(\small{ \ x=3, \ y=-1 \ }\)のとき
最大になるのは\(\small{ \ x＋y＝k \ }\)とするとこの直線が\(\small{ \ x^2+y^2=10 \ }\)に接するとき
この2式を連立して
\(\small{ \ 2x^2-2kx+k^2-10=0\cdots① \ }\)
この方程式の判別式\(\small{ \ D =0\ }\)のとき接するので
\(\small{ \ \displaystyle \frac{D}{4}=k^2-2(k^2-10)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore k=\pm2\sqrt{5} \ }\)
図より\(\small{ \ k=2\sqrt{5} \ }\)
\(\small{ \ k=2\sqrt{5} \ }\)を\(\small{ ①}\)に代入して\(\small{ \ x=\sqrt{5} , \ y=\sqrt{5} \ }\)
よって最大値は\(\small{ \ k=2\sqrt{5} \ }\)\(\small{ \ x=\sqrt{5} , \ y=\sqrt{5} \ }\)のとき

(1)\(\small{ \ f(x, \ y)=0 \ }\)と\(\small{ \ g(x, \ y)=0 \ }\)を連立して
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x-3)^2+y^2-4=0\cdots①\\
y=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}x\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ ②}\)を\(\small{ ①}\)に代入して
\(\small{ \ (x-3)^2+\displaystyle \frac{3}{16}x^2-4=0 \ }\)
\(\small{ \ 19x^2-96x+80=0 \ }\)
\(\small{ \ (19x-20)(x-4)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\displaystyle \frac{20}{19}, \ 4 \ }\)
よって円と直線の交点は\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{20}{19}, \ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{19}\right) \ }\)、\(\small{ \ \left(4, \ \sqrt{3}\right) \ }\)となり、
領域\(\small{ \ D \ }\)は図の斜線部分になる。ただし境界線上も含む。

(3)\(\small{ \ ax+y=k \ (a \gt 0) \ }\)とおくと
\(\small{ \ y=-ax+k\cdots③ \ }\)
直線\(\small{③}\)と領域\(\small{ \ D \ }\)が共有点をもつときの\(\small{ \ k \ }\)の最大値と最小値を考えればよい。
(i)\(\small{ \ a \geqq \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ }\)のとき
\(\small{③}\)が\(\small{ \ (4, \ \sqrt{3}) \ }\)を通るとき最大、\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{20}{19}, \ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{19}\right) \ }\)を通るとき最小である。
(ii)\(\small{ \ 0 \lt a \lt \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ }\)のとき
直線\(\small{③}\)が領域\(\small{ \ D \ }\)と接するとき最大、\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{20}{19}, \ \displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{19}\right) \ }\)を通るとき最小である。
最大のとき、直線と円が接するから円の中心と直線の距離が円の半径に等しい
\(\small{ \ \displaystyle \frac{|a\cdot3+0-k|}{\sqrt{a^2+1}}=2 \ }\)より\(\small{ \ k=3a\pm2\sqrt{a^2+1} \ }\)
題意より\(\small{ \ k=3a+2\sqrt{a^2+1} \ }\)
最小のときは(i)と同様である。
最大値\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4a+\sqrt{3}\left( \ a \geqq \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \ \right)\\
3a+2\sqrt{a^2+1}\left(0 \lt a \lt \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
最小値\(\small{ \ \displaystyle \frac{5(4a+\sqrt{3})}{19} \ }\)