分数型の隣接二項間漸化式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は分数型の隣接二項間漸化式について学習していこう。

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分数型の隣接二項間漸化式

分数型の隣接二項間漸化式は大きく分けて次の二つのパターンになる。

この分数型はどちらも解法を知らないと自分でこの解法を導くのはかなり厳しいから今回学習してきちんと解き方を定着させておこう。

分数型の隣接二項間漸化式

①\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_n}{pa_n+q} \ }\)型
両辺の逆数をとって\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n} \ }\)とすると特性方程式を利用する形に変形

②\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t} \ }\)型
特性方程式\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{px+q}{sx+t} \ }\)の解を\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)とすると
\(\small{ \ a_{n+1}-\alpha=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t}-\alpha \ }\)
\(\small{ \ a_{n+1}-\beta=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t}-\beta \ }\)
を計算し、\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} \ }\)とすると\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は等比数列

このパターン以外の分数型の漸化式の問題ももちろんあるけど、その場合は問題文に何を\(\small{ \ b_n \ }\)とおいて式変形させればいいのか書いてあるから、問題の誘導に従っていけば大丈夫だからね。

逆数をとる漸化式

\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_n}{pa_n+q} \ }\)の場合は両辺の逆数をとると\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \frac{q}{r}\cdot\displaystyle \frac{1}{a_n}+\displaystyle \frac{p}{r} \ }\)になるよね。

\(\small{ \ p、r \ }\)は定数だから、\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n} \ }\)、\(\small{ \ p'=\displaystyle\frac{q}{r}、q'=\displaystyle\frac{p}{r} \ }\)を定数とすると\(\small{ \ b_{n+1}=p'b_n+q' \ }\)の形に変形できるから、これは以前学習した「\(\small{ \ p'=1 \ }\)なら等差数列」「\(\small{ \ p'\neq1 \ }\)なら特性方程式を利用する形」になるよね。

例題を確認
問題解答

次の式を満たす数列の一般項を求めよ。

(1)\(\small{ \ a_1=1、a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{2a_n+1} \ (n=1、2、3、\cdots)}\)
(2)\(\small{ \ a_1=1、a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{3a_n+4} \ (n=1、2、3、\cdots)}\)

(1)両辺の逆数をとって
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{a_n}+2 \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n} \ }\)とすると
\(\small{ \ b_{n+1}=b_n+2 \ }\)  \(\small{ \ b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=1 \ }\)
\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は初項\(\small{ \ 1 \ }\)、公差\(\small{ \ 2 \ }\)の等差数列より
\(\small{ \ b_n=1+2(n-1)=2n-1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=\displaystyle \frac{1}{2n-1} \ }\)

(2)両辺の逆数をとって
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \frac{4}{a_n}+3 \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n} \ }\)とすると
\(\small{ \ b_{n+1}=4b_n+3 \ }\)
この式を変形すると\(\small{ \ b_{n+1}+1=4(b_n+1) \ }\)
\(\small{ \ b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}=1 \ }\)
\(\small{ \ \{b_n+1\} \ }\)は初項\(\small{ \ 2 \ }\)、公比\(\small{ \ 4 \ }\)の等比数列より
\(\small{ \ b_n+1=2\cdot4^{n-1}=2^{2n-1} \ }\)
\(\small{ \ b_n=2^{2n-1}-1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_n=\displaystyle \frac{1}{2^{2n-1}-1} \ }\)

point
\(\small{ \ a_n \ }\)の逆数をとった数列\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_n}{pa_n+q} \ }\)の\(\small{ \ \displaystyle\frac{q}{r}=1 \ }\)のとき等差数列、\(\small{ \ \displaystyle\frac{q}{r} \neq 1 \ }\)のとき特性方程式を利用する形になることがわかったよね。

分数型の特性方程式を解く

\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t} \ }\)の場合は特性方程式\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{px+q}{sx+t} \ }\)を解いて解を出そう。

この方程式の解を\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)とすると与式からそれぞれ引いた式を作るんだ。

すると\(\small{ \ a_{n+1}-\alpha=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t}-\alpha \ }\)は\(\small{ \ a_{n+1}-\alpha=\displaystyle \frac{k(a_n-\alpha)}{sa_n+t} \ }\)に変形できる。つまり分子の部分が同じ形になるんだ。

これは特性方程式を確認するとわかるけど\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{px+q}{sx+t} \ }\)の左辺から\(\small{ \ \alpha \ }\)を引くと\(\small{ \ \alpha \ }\)は特性方程式の解だから左辺は\(\small{ \ 0 \ }\)になるよね。ってことは右辺も\(\small{ \ 0 \ }\)になるはずだよね。

右辺が\(\small{ \ 0 \ }\)になるには分子が\(\small{ \ 0 \ }\)になるから分子に\(\small{ \ x-\alpha \ }\)ができるはずだよね。

これから左辺の\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ a_{n+1} \ }\)、右辺の\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ a_n \ }\)とすると式の分子が同じ形に変形できるのがわかるよね。

さらにもう一つの解\(\small{ \ \beta \ }\)も引いて式を作ると\(\small{ \ a_{n+1}-\beta=\displaystyle \frac{l(a_n-\beta)}{sa_n+t} \ }\)に変形できる。

この二つの式を割ると\(\small{ \ \displaystyle \frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}=\displaystyle \frac{k}{l}\cdot\displaystyle \frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} \ }\)となって、\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} \ }\)とすると\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は等比数列になるからこれを解いて\(\small{ \ a_n \ }\)を求めよう。

例題を確認
問題解答

次の式を満たす数列の一般項を求めよ。

(1)\(\small{ \ a_1=4、a_{n+1}=\displaystyle \frac{3a_n+2}{a_n+4} \ (n=1、2、3、\cdots)}\)
(2)\(\small{ \ a_1=1、a_{n+1}=\displaystyle \frac{4-a_n}{3-a_n} \ (n=1、2、3、\cdots)}\)

(1)\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{3x+2}{x+4} \ }\)を解くと
\(\small{ \ x(x+4)=3x+2 \ }\)
\(\small{ \ x^2+x-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-1)(x+2)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=1、-2 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_{n+1}-1&=&\displaystyle \frac{3a_n+2}{a_n+4}-1\\
&=&\displaystyle \frac{2(a_n-1)}{a_n+4}\cdots① \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_{n+1}+2&=&\displaystyle \frac{3a_n+2}{a_n+4}+2\\
&=&\displaystyle \frac{5(a_n+2)}{a_n+4}\cdots② \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ ①÷② \ }\)より
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+2} =\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+2}\ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+2} \ }\)とすると
\(\small{ \ b_{n+1}=\displaystyle \frac{2}{5}b_n \ }\)
\(\small{ \ b_1=\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+2}=\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は初比\(\small{ \ \displaystyle \frac{2}{5} \ }\)、公比\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)の等比数列より
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(\displaystyle \frac{2}{5}\right)^{n-1} \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+2} \ }\)より
\(\small{ \ b_n(a_n+2)=a_n-1 \ }\)
\(\small{ \ a_n(b_n-1)=-2b_n-1 \ }\)
\(\small{ \ a_n=-\displaystyle \frac{2b_n+1}{b_n-1} \ }\)
これに\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(\displaystyle \frac{2}{5}\right)^{n-1} \ }\)を代入して整理すると
\(\small{ \ a_n=\displaystyle \frac{5^{n-1}+2^{n-1}}{5^{n-1}-2^{n-2}} \ }\)

(2)\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{4-x}{3-x} \ }\)を解くと
\(\small{ \ x(3-x)=4-x \ }\)
\(\small{ \ x^2-4x+4=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-2)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=2 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_{n+1}-2&=&\displaystyle \frac{4-a_n}{3-a_n}-2\\
&=&\displaystyle \frac{a_n-2}{3-a_n} \ \end{eqnarray}}\)
両辺の逆数をとって
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}-2}=\displaystyle \frac{1}{a_n-2}-1 \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n-2} \ }\)とすると
\(\small{ \ b_{n+1}=b_n-1 \ }\)
\(\small{ \ b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1-2}=-1 \ }\)
\(\small{ \ \{b_n\} \ }\)は初項\(\small{ \ -1 \ }\)、公差\(\small{ \ -1 \ }\)の等比数列より
\(\small{ \ b_n=-1-(n-1)=-n \ }\)
\(\small{ \ b_n=\displaystyle \frac{1}{a_n-2} \ }\)より
\(\small{ \ b_n(a_n-2)=1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&\displaystyle \frac{2b_n+1}{b_n} \\
&=&\displaystyle \frac{1}{b_n}+2\\
&=&2-\displaystyle \frac{1}{n} \ \end{eqnarray}}\)

point
解の個数によって解法がちょっと変わるから重解になった場合の解法を忘れないようにしておこう。

Point 分数型の隣接二項間漸化式

①\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_n}{pa_n+q} \ }\)なら逆数をとる
②\(\small{ \ a_{n+1}=\displaystyle \frac{pa_n+q}{sa_n+t} \ }\)なら\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{px+q}{sx+t} \ }\)の解を引いて式変形する

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