3次関数の最大最小の基本

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(1)\(\small{ \ y=x^3-12x \ (-2 \leqq \ x \ \leqq 3) \ }\)

\(\small{ \ x+3y=9, \ x\geqq0, \ y\geqq0 \ }\)のとき\(\small{ \ x^2y \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

\(\small{ \ x \ }\)が\(\small{ \ 0 \leqq x \lt 2\pi \ }\)の範囲を動くとき、\(\small{ \ \sin x+\cos x =t \ }\)とおいて、\(\small{ \ \sin^3 x+\cos^3 x \ }\)の最大値と最小値とそのときの\(\small{ \ t \ }\)の値を求めよ。

\(\small{\begin{eqnarray} \ t&=&\sin x+\cos x\\
&=&\sqrt{2}\left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)\\
&=&\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{4}\right) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ 0 \leqq x \lt 2\pi \ }\)より\(\small{ \ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} \ }\)
\(\small{ \ t=\sin x + \cos x \ }\)より
\(\small{ \ t^2=1+2\sin x \cos x \ }\)
\(\small{ \ \sin^3 x+\cos^3 x \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} &=&(\sin x+\cos x)^3-3\sin x \cos x(\sin x+\cos x)\\
&=&t^3-3\displaystyle \frac{t^2-1}{2}t \\
&=&-\displaystyle \frac{1}{2}t^3+\displaystyle \frac{3}{2}t \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ f(t)= -\displaystyle \frac{1}{2}t^3+\displaystyle \frac{3}{2}t\ }\)とすると
\(\small{ \ f'(t)=-\displaystyle \frac{3}{2}(t+1)(t-1) \ }\)
\(\small{ \
\begin{array}{c|ccccc}
x & -\sqrt{2} &\cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2}\\
\hline
f’(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
f(x) & -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & \searrow & -1 & \nearrow & 1 & \searrow & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array} \ }\)
よって最大値\(\small{ \ 1 \ (t=1) \ }\)
最大値\(\small{ \ -1 \ (t=-1) \ }\)