こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三次関数の極大値・極小値(極値)と解と係数の関係について学習していこう。
三次関数の極大値と極小値の和・差と解と係数の関係
三次関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を微分すると、\(\small{ \ f'(x) \ }\)は二次関数になって\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)とすると、この式は二次方程式になるから解と係数の関係が利用できるよね。
しかもこの解が極大値や極小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値になるから、極大値と極小値を一緒に利用する問題では解と係数の関係が利用できる。
\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)のとき
\(\small{ \ f'(x)=3ax^2+2bx+c \ }\)
\(\small{ \ f(x) \ }\)が極値を持つためには\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)が異なる解を二つ持たないといけないので
\(\small{ \ D=(2b)^2-4\cdot 3a \cdot c \gt 0 \ }\)
ここで異なる二つの解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とすると
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{2b}{3a}\\
\alpha\beta=\displaystyle \frac{c}{3a}\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
となる。
解を二つ持つから判別式が正になることも忘れないようにしよう。
数学Ⅱの微分法では、二次方程式の解と係数の関係を利用するけど、三次方程式の解と係数の関係も、他の単元で利用するからきちんと覚えておこう。
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解と係数の関係の証明
二次方程式と三次方程式の解と係数の関係の証明について詳しく解説しています。
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極大値と極小値の和と解と係数の関係
\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)、極大値と極小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする。
このとき極大値と極小値の和は
\(\small{ \ f(\alpha)+f(\beta)=a(\alpha^3+\beta^3)+b(\alpha^2+\beta^2)+c(\alpha+\beta)+2d \ }\)になる。
この\(\small{ \ f(\alpha)+f(\beta) \ }\)は\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)を入れ替えても同じ式になるから対称式になるよね。つまりこの式の\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)の部分は基本対称式の\(\small{ \ \alpha+\beta \ }\)と\(\small{ \ \alpha\beta \ }\)で表すことができるんだ。
対称式について理解していない人は、もう一度対称式について学習しておこう。きちんと理解しておかないと使いたい時に使うことができないからね。
非常に便利な式だから必ず使えるようにしておこう。
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対称式
基本対称式の解説や定番の対称式を解説しています。
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\(\small{ \ 3 \ }\)次関数\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx \ }\)が\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)で極値をもつ。\(\small{ \ \mathrm{A}(\alpha, \ f(\alpha)) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\beta, \ f(\beta)) \ }\)とするとき、線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にあることを示せ。
\(\small{ \ f'(x)=3x^2+2ax+b \ }\)
\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)とすると\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)より
解と係数の関係から
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{2}{3}a\\
\alpha\beta=\displaystyle \frac{b}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)の座標は
\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}, \ \displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\right) \ }\)より
\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \ }\)が成り立てば
線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にある。
=\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^3+a\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+b\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\
=\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)^3+a\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)^2+b\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)\\
=\displaystyle \frac{2}{27}a^3-\displaystyle \frac{ab}{3} \ }\)
=\displaystyle \frac{\alpha^3+\beta^3+a(\alpha^2+\beta^2)+b(\alpha+\beta)}{2}\\
=\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+a\left\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\right\}+b(\alpha+\beta)}{2}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)^3-3\displaystyle \frac{b}{3}\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)+a\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)^2-2a\displaystyle \frac{b}{3}+b\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)\right\}\\
=\displaystyle \frac{2}{27}a^3-\displaystyle \frac{ab}{3} \ }\)
よって
\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \ }\)より
線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にある
解が整数とか簡単な分数なら代入してもいいけど、定数を含んだり、根号を含んだりしてると計算するの本当に大変だし、計算ミスの可能性もかなり高くなるからね。
計算ミスをしないようになるべく工夫した簡単な計算方法を覚えよう。
極大値と極小値の差と解と係数の関係
\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ f(x)=a^3+bx^2+cx+d \ }\)、極大値と極小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする。
このとき、極大値と極小値の差は
上の式では絶対値をつけてるけど、実際は\(\small{ \ a \ }\)が正なら極大より極小の方が右側にあることが言えるし、\(\small{ \ a \ }\)が負なら極大より極小の方が左側にあることが言えるから、問題文に合わせて絶対値記号を外そう。
計算するときは、\(\small{ \ \alpha-\beta \ }\)でくくり出して整理していくことを考えよう。
このとき、\(\small{ \ \alpha-\beta \ }\)の符号は、\(\small{ \ a \ }\)の符号によるから注意しよう。いつでも正ってわけじゃないからね。
\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)が\(\small{ \ x=p \ }\)で極大値をとり、\(\small{ \ x=q \ }\)で極小値をとるとき、極大値と極小値の差を\(\small{ \ p, \ q \ }\)で表せ。また\(\small{ \ a, \ b \ }\)でも表せ。
\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)より
\(\small{ \ f'(x)=3x^2+2ax+b \ }\)
\(\small{ \ x=p \ }\)で極大値をとり、\(\small{ \ x=q \ }\)で極小値をとるので
\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)のとき\(\small{ \ x=p, \ q \ }\)
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p+q=-\displaystyle \frac{2a}{3}\\
pq=\displaystyle \frac{b}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ a=-\displaystyle \frac{3}{2}(p+q) \ }\)
\(\small{ \ b=3pq \ }\)を代入すると
また、\(\small{ \ p-q\\[3pt]
=-\sqrt{(p+q)^2-4pq}\\[3pt]
=-\sqrt{\left(-\displaystyle \frac{2a}{3}\right)^2-4\cdot\displaystyle \frac{b}{3}}\\[3pt]
=\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b} \ }\)より
\(\small{ \ f(p)-f(q)=-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left( \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\right)^3\\[3pt]
=\displaystyle \frac{4}{27}\sqrt{(a^2-3b)^3} \ }\)
差がつく
極大値と極小値の差は定積分を利用して求めることもできる。
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(p)-f(q)&=&\displaystyle\int_{q}^{p}f'(x)dx\\[3pt]
&=&\displaystyle\int_{q}^{p}(3x^2+2ax+b) dx\\[3pt]
&=&\displaystyle\int_{q}^{p}3(x-p)(x-q) dx\\[3pt]
&=&3\displaystyle\int_{q}^{p}(x-p)(x-q) dx\\[3pt]
&=&-\displaystyle\frac{1}{2}(p-q)^3 \ \end{eqnarray}}\)
解と係数と\(\small{ \ 1/6 \ }\)公式を使うことで簡単に求めることができるよね。
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面積と1/6公式
1/6公式が利用できるパターンについて詳しく解説しています。
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Point 三次関数の極大値・極小値(極値)と解と係数の関係
①極大極小の和や差は\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)の解と係数の関係を利用
②\(\small{ \ x^3 \ }\)の係数によって極大と極小の位置関係が決定
