こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三次関数の最大最小（指数関数の置換）について学習していこう。
指数関数を三次関数に置換
指数関数の\(\small{ \ 2^x \ }\)や\(\small{ \ 2^x +2^{-x} \ }\)などを\(\small{ \ t \ }\)と置き換えることによって、指数関数の最大最小問題を三次関数の最大最小問題にすることができるんだ。
三次関数の最大最小は、微分して増減表を書けばいいから、置換することで簡単に解くことができるよね。
\(\small{ \ t=a^x \ }\)のとき
\(\small{ \ (a^x)^3=a^{3x}=(a^3)^x \ }\)は\(\small{ \ t^3 \ }\)になる。
ただし、\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ t=a^x+a^{-x} \ }\)のとき
\(\small{ \ (a^x)^3+(a^{-x})^3=a^{3x}+a^{-3x}=(a^3)^x+(a^3)^{-x} \ }\)は\(\small{ \ t^3-3t \ }\)になる。
ただし、\(\small{ \ t \geqq 2 \ }\)
指数関数の置換と三次関数
三角関数の場合、基本的に置換する問題は置換する形が与えられてたり、簡単に気付ける場合が多いけど、指数関数の場合は置換する形が与えられていることがほとんどないから、自分で見つけないといけない。
って言っても次の二通りぐらいしかないからすぐ気付くから大丈夫。
指数関数の置換
①\(\small{ \ t=2^x \ }\)の場合
\(\small{ \ 4^x=2^{2x}=t^2 \ }\)
\(\small{ \ 8^x=2^{3x}=t^3 \ }\)
②\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)の場合
\(\small{\begin{eqnarray} \ 8^x+ 8^{-x}&=&(2^x+2^{-x})^3-3\cdot2^x\cdot2^{-x}(2^x+2^{-x})\\[3pt] &=&t^3-3t \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ t \ }\)と置換した文字と\(\small{ \ t^2, \ t^3 \ }\)の関係をしっかりと覚えておこう。
置換した文字の定義域に注意
\(\small{ \ x \ }\)の定義域に対して、\(\small{ \ t \ }\)がどんな値を取るか必ず確認しよう。
特に気をつけてほしいのは、\(\small{ \ x \ }\)に定義域が指定されていない場合でも置換した\(\small{ \ t \ }\)には範囲が存在することなんだ。
これは三角関数を置換するときと全く同じだからね。
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三次関数の最大最小（三角関数の置換）
三角関数を置換して三次関数の最大最小を求める問題について詳しく解説しています。
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\(\small{ \ x \ }\)がすべての実数をとるとき、\(\small{ \ t=2^x \ }\)なら\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)、\(\small{ \ t=2^x+2^{-x}\ }\)なら、相加平均と相乗平均の関係から\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \geqq 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 \ }\)より、\(\small{ \ t \geqq 2 \ }\)になるからね。
\(\small{ \ f(x)=8^x-3\cdot2^x \ }\)について以下の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ f(x)=0 \ }\)となる\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ f(x) \ }\)の最小値とそのときの\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ t=2^x \ }\)とすると
\(\small{ \ 8^x-3\cdot2^x=t^3-3t \ }\)より
\(\small{ \ t^3-3t=0 \ }\)
\(\small{ \ t(t+\sqrt{3})(t-\sqrt{3})=0 \ }\)
\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)より
\(\small{ \ t=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ 2^x=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\log_2 \sqrt{3}=\displaystyle \frac{1}{2}\log_2 3 \ }\)
(2)(1)と同様に\(\small{ \ t=2^x \ }\)とすると
\(\small{ \ f(x)=g(t)=t^3-3t \ }\)とおける
\(\small{ \ g'(t)=3t^2-3=3(t+1)(t-1) \ }\)
増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|cccc}
t & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
g’(t) & & - &0 & + \\
\hline
g(t) & & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array} \ }\)
よって最小値は\(\small{ \ -2 \ }\)
このとき\(\small{ \ t=1 \ }\)より
\(\small{ \ 2^x=1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=0 \ }\)
Point 三次関数の最大最小（指数関数の置換）
①三次関数になる指数関数の形を把握しておこう
②置換した文字の範囲に注意しよう
(1)\(\small{ \ f(x)=2^x+2^{-x} \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ g(x)=8^x+8^{-x}-4(4^x+4^{-x}) \ }\)最小値とそのときの\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ 2^x \gt 0 \ }\)、\(\small{ \ 2^{-x} \gt 0 \ }\)だから相加相乗平均の関係より
\(\small{ \ f(x)=2^x+2^{-x}=2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 \ }\)
等号成立は\(\small{ \ 2^x=2^{-x} \ }\)つまり\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき
よって\(\small{ \ f(x) \ }\)は\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ 2 \ }\)
(2)\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)とおくと
&=&(2^x+2^{-x})^3-3\cdot 2^x \cdot 2^{-x}(2^x+2^{-x})-4\left\{(2^x+2^{-x})^2-2\cdot 2^x \cdot 2^{-x}\right\}\\
&=&t^3-4t^2-3t+8 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ h(t)=t^3-4t^2-3t+8 \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ h'(t)&=&3t^2-8t-3\\
&=&(3t+1)(t-3) \ \end{eqnarray}}\)
増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|cccc}
t & 2 & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
h’(t) & & - &0 & + \\
\hline
h(t) & & \searrow & -10 & \nearrow
\end{array} \ }\)
\(\small{ \ t=3 \ }\)のとき
つまり\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=3 \ }\)
\(\small{ \ \left(2^x\right)^2-3\cdot 2^x+1=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 2^x=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \ }\)
\(\small{ \ x=\log_2 \displaystyle \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}=-1+\log_2 \left(3\pm \sqrt{5}\right) \ }\)
よって\(\small{ \ g(x) \ }\)は\(\small{ \ x=-1+\log_2 \left(3\pm \sqrt{5}\right) \ }\)のとき最小値\(\small{ \ -10 \ }\)をとる
\(\small{ \ t=2^x \ }\)のときは、簡単に求められるけど、\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)って置換したときは、一度\(\small{ \ 2^x=a \ }\)として、まずは\(\small{ \ a \ }\)の二次方程式を解くイメージで\(\small{ \ 2^x \ }\)を求めてから\(\small{ \ x \ }\)を出さないといけないから注意しよう。
