こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は解と係数の関係の証明について学習していこう。
解と係数の関係
解と係数の関係は「複素数と方程式」の単元で学習するんだけど、その他の単元で利用することも多いから、いつでも使えるようにしておかないといけない。
二次方程式と三次方程式の証明の方法を押さえておけば、それ以上の高次方程式でも導くことができるからしっかり確認しておこう。
二次方程式の解と係数の関係の証明
\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の解を\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta\ }\)とするとき
\(\large{ \ \alpha+\beta=-\displaystyle \frac{b}{a} \ }\) \(\large{ \ \alpha\beta=\displaystyle \frac{c}{a} \ }\)
解が\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)の二次方程式は
\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)=0 \ }\)である。
これを展開すると\(\small{ \ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\cdots① \ }\)となる。
\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の解も\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)より
\(\small{①}\)と\(\small{ \ x^2 \ }\)の係数を同じにして
\(\small{ \ x^2+\displaystyle \frac{b}{a}x+\displaystyle \frac{c}{a}=0\cdots② \ }\)
\(\small{①②}\)は同じ二次方程式なので係数を比較して
\(\small{ \ \alpha+\beta=-\displaystyle \frac{b}{a} \ }\)\(\small{ \ \alpha\beta=\displaystyle \frac{c}{a} \ }\)が成り立つ。
三次方程式の解と係数の関係の証明
\(\small{ \ ax^3+bx^2+cx+d=0 \ }\)の解を\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta\ }\)、\(\small{ \ \gamma \ }\)とするとき
\(\large{ \ \alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle \frac{b}{a} \ }\)
\(\large{ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle \frac{c}{a} \ }\)
\(\large{ \ \alpha\beta\gamma=-\displaystyle \frac{d}{a} \ }\)
解が\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)、\(\small{ \ \gamma \ }\)の三次方程式は
\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \ }\)である。
これを展開すると
となる。
\(\small{ \ ax^3+bx^2+cx+d=0 \ }\)の解も\(\small{ \ \alpha \ }\)、\(\small{ \ \beta \ }\)、\(\small{ \ \gamma \ }\)より
\(\small{③}\)と\(\small{ \ x^3 \ }\)の係数を同じにして
\(\small{ \ x^3+\displaystyle \frac{b}{a}x^2+\displaystyle \frac{c}{a}x+\displaystyle \frac{d}{a}=0\cdots④ \ }\)
\(\small{③④}\)は同じ三次方程式なので係数を比較して
\(\small{ \ \alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle \frac{b}{a} \ }\)
\(\small{ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle \frac{c}{a} \ }\)
\(\small{ \ \alpha\beta\gamma=-\displaystyle \frac{d}{a} \ }\)が成り立つ。
