接点が与えられた円の接線の方程式

2016年6月9日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は接点が与えられた円の接線の方程式について学習していこう。

円の接線の公式

円の接線を求めるとき、接点がわかっているなら接線の公式を利用して接線の方程式を求めよう。

円の接線の方程式

\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)上の\(\small{ \ (x_1, \ y_1) \ }\)における接線の方程式

\(\small{ \ (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2 \ }\)

とくに円の中心が原点のとき、\(\small{ \ x_1x+y_1y=r^2 \ }\)になる。これは教科書にも載ってるよね。

与えられた点が接点なのかそうでないのか

「\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を通る接線」を考えるとき、\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が接点なのか、それとも円周外の点なのか確認する必要があるよね。
接点だったら接線の公式に代入すればいいし、接点じゃなかったら別な方法で接線を求めないといけないからね。

まずはこの与えられた点を円の方程式に代入して円周上の点か、それとも違うのか確認しよう。
何も考えず安易に\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が接点と決め付けないようにね。

ちなみに「\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)における接線」と言われたら\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)は接点だ。

例題を確認

問題解答1解答2解答3

\(\small{ \ x^2+y^2=25 \ }\)上の\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式を求めよ。

\(\small{ \ x^2+y^2=25 \ }\)上の\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ 3x+4y=25 \ }\)

\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ x=3 \ }\)ではないから
\(\small{ \ y=m(x-3)+4 \ }\)とおける
円の中心と接点を結ぶ線分と接線の方程式は垂直だから
\(\small{ \ \displaystyle \frac{4-0}{3-0}\cdot m=-1 \ }\)より
\(\small{ \ m=-\displaystyle \frac{3}{4} \ }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-3)+4 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3x+4y=25 \ }\)

\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ x=3 \ }\)ではないから
\(\small{ \ y=m(x-3)+4 \ }\)とおける
これが円と接するのは、円の中心と直線の距離が半径と等しいとき
\(\small{ \ \displaystyle \frac{|-3m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=5 \ }\)
\(\small{ \ |-3m+4|=5\sqrt{m^2+1} \ }\)
\(\small{ \ (-3m+4)^2=25(m^2+1) \ }\)
\(\small{ \ (4m+3)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore m=-\displaystyle \frac{3}{4} \ }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-3)+4 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3x+4y=25 \ }\)