2つの円の交点を通る円と直線の方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2つの円の交点を通る円と直線の方程式について学習していこう。

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2つの円の交点を通る線の方程式

\(\small{ \ 2 \ }\)つの円\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)と\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)の交点を通る線(直線または円)の方程式は、片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えることで求めることが出来るんだ。

だって、\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点は\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)と\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)を同時に満たすから、

\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \ }\)

という方程式も満たすよね。ってことは、

\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0 \ }\)

は\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を通る線の方程式だって言えるよね。

展開してみると

\(\small{ \ (k+1)x^2+(k+1)y^2+(l+kp)x+(m+kq)y+n+kr=0 \ }\)

ってなるから\(\small{ \ k\neq 1 \ }\)なら円の方程式って言えるし、\(\small{ \ k=1 \ }\)なら\(\small{ \ 2 \ }\)次の項が消えるから直線の方程式って言えるよね。

ただ、この\(\small{ \ k \ }\)が入った状態だと、\(\small{ \ k \ }\)の値によって中心や半径の異なる円になるから、\(\small{ \ k \ }\)を定めるために、この円が通る他の\(\small{ \ 1 \ }\)点が必要になるんだ。

でもその点は問題文で与えられてるから、その\(\small{ \ 1 \ }\)点を円の方程式に代入して\(\small{ \ k \ }\)を定めよう。

2つの円の交点を通る線

円\(\small{ \ C_1 \ }\)の方程式\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)
円\(\small{ \ C_2 \ }\)の方程式\(\small{ \ x^2+y^2+px+qy+r=0 \ }\)のとき
円\(\small{ \ C_1 \ }\)と円\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点を通る円の方程式

\(\small{x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0}\)

\(\small{ \ k=-1 \ }\)のとき2つの円の交点を通る直線、\(\small{ \ k \neq -1 \ }\)のとき円の方程式になるから覚えておこう。円の方程式のとき他の1点が必要になる。

2つの円の交点を求める方法

\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を求める場合、一度\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を通る直線の方程式を求めて、その直線の方程式とどちらか一方の円の方程式を連立させて交点を求めよう

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 2 \ }\)円\(\small{ \ C_1:(x-1)^2+(y-3)^2=4 \ }\)と\(\small{ \ C_2:(x-4)^2+(y-1)^2=9 \ }\)がある。
次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ 2 \ }\)円\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点を通る直線の方程式を求めよ。
(2)\(\small{ \ 2 \ }\)円\(\small{ \ C_1 \ }\)と\(\small{ \ C_2 \ }\)の交点と\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通る円の方程式を求めよ。

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)円の式をそれぞれ平方形から一般形に展開して引くと

\(\small{x^2-2x+y^2-6y+6-(x^2-8x+y^2-2y+8)=0}\)

これを整理すると
\(\small{3x-2y-1=0}\)

(2)\(\small{ \ C_2 \ }\)を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えると

\(\small{(x-1)^2+(y-3)^2-4+k\lbrace (x-4)^2+(y-1)^2-9 \rbrace=0}\)

\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから代入すると
\(\small{4-8k=0}\)
\(\small{k=\displaystyle \frac{1}{2}}\)
これを式に代入して

\(\small{(x-1)^2+(y-3)^2-4+\displaystyle \frac{1}{2}\lbrace (x-4)^2+(y-1)^2-9 \rbrace=0}\)

これを整理すると
\(\small{(x-2)^2+\left(y-\displaystyle \frac{7}{3}\right)^2=\displaystyle \frac{25}{9}}\)

point
\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点と他の\(\small{ \ 1 \ }\)点を通る円の方程式を求める場合、\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を求めて円の方程式を導くことも出来るけど、計算に時間がかかりすぎるし、\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点の座標は基本的には綺麗な数じゃないだから、計算がとても複雑になるし、計算ミスする恐れがあるよね。

だから今回学習したこの方法はで解けるようにしておかないといけない

計算も簡単で時間も短縮出来る、いいことだらけのやり方だからね!

Point 2つの円の交点を通る円・直線

①\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を通る円の方程式は片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えよう
②\(\small{ \ k=-1 \ }\)の時は、\(\small{ \ 2 \ }\)つの円の交点を通る直線になる

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