三角関数の微分（導関数）

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角関数の微分（導関数）の証明について学習していこう。

三角関数の導関数

\(\small{ \ \left(\sin x \right)'=\cos x \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{2\cos\displaystyle\frac{2x+h}{2}\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{\displaystyle\frac{h}{2}}\cdot\cos\displaystyle\frac{2x+h}{2} \ }\)
\(\small{ \ =\cos x \ }\)
\(\small{ \ \therefore \left(\sin x \right)'=\cos x \ }\)

ちなみに\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0 }\displaystyle\frac{\sin\theta}{\theta}=1 \ }\)だからね。

\(\small{ \ \left(\cos x\right)'=-\sin x \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{-2\sin\displaystyle\frac{2x+h}{2}\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }-\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{h}{2}}{\displaystyle\frac{h}{2}}\cdot\sin\displaystyle\frac{2x+h}{2} \ }\)
\(\small{ \ =\sin x \ }\)
\(\small{ \ \therefore \left(\cos x \right)'=-\sin x \ }\)

ちなみに\(\small{ \ \cos x=\sin\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \ }\)を利用すると
\(\small{ \ \left(\cos x\right)' \ }\)
\(\small{ \ =\left\{\sin\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\right\}' \ }\)
\(\small{ \ =\cos\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\cdot\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)' \ }\)
\(\small{ \ =\cos\left(x+\displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \ }\)
\(\small{ \ =-\sin x \ }\)
って\(\small{ \ \sin x \ }\)の微分を利用しても導けるからね。

\(\small{ \ \left(\tan x\right)'=\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{1}{h}\left(\displaystyle\frac{\tan x +\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x \right) \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{1}{h}\cdot \displaystyle\frac{\tan h(1+\tan^2 x)}{1-\tan x\tan h} \ }\)
\(\small{ \ = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\sin h}{h}\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos h}\cdot\displaystyle\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x \tan h} \ }\)
\(\small{ \ = 1+\tan^2 x \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \left(\tan x\right)'=-\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} \ }\)

ちなみに\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left\{g(x)\right\}^2} \ }\)を利用すると
\(\small{ \ \left(\tan x\right)' \ }\)
\(\small{ \ =\left(\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\right)' \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{(\sin x)'\cos x-\sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} \ }\)
って商の微分を利用しても導けるからね。