合成関数の導関数（微分）の定義

2019年6月20日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は合成関数の導関数（微分）の定義について証明していこう。

合成関数の導関数（微分）

\(\small{ \ y=f(u), \ u=g(x) \ }\)で定義される関数\(\small{ \ y=f\left(g(x)\right) \ }\)を微分すると
\(\small{ \ \left\{f\left(g(x)\right)\right\}'=f'\left(g(x)\right)g'(x) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx } \ }\)

導関数の定義

\(\small{ \ f'(x)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ }\)

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微分係数と導関数

導関数の定義を利用した証明

微分の定義の式より

\(\small{\begin{eqnarray} \ \left\{f\left(g(x)\right)\right\}'&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f\left(g(x+h)\right)-f\left(g(x)\right)}{h}\\
&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f\left(g(x+h)\right)-f\left(g(x)\right)}{g(x+h)-g(x)}\cdot\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \ \end{eqnarray}}\)

ここで\(\small{ \ g(x+h)-g(x)=i \ }\)とおくと
\(\small{ \ h \to 0 \ }\)のとき、\(\small{ \ i \to 0 \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ &=&\displaystyle \lim_{i \to 0}\displaystyle\frac{f\left(g(x)+i\right)-f\left(g(x)\right)}{i}\cdot\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=&f'\left(g(x)\right)g'(x) \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \therefore \left\{f\left(g(x)\right)\right\}'=f'\left(g(x)\right)g'(x) \ }\)

\(\small{ \ \left\{f\left(g(x)\right)\right\}'=\displaystyle\frac{dy}{dx} \ }\)
\(\small{ \ y=f(g(x)), \ u=g(x) \ }\)とすると
\(\small{ \ f'\left(g(x)\right)=f'(u)=\displaystyle\frac{dy}{du} \ }\)
\(\small{ \ g'(x)=\displaystyle\frac{du}{dx} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx} \ }\)

差分を利用した証明

\(\small{ \ y=f(u), \ u=g(x) \ }\)でともに微分可能であるとき、
\(\small{ \ x \ }\)の増分\(\small{ \ \varDelta x \ }\)に対する\(\small{ \ u \ }\)の増分を\(\small{ \ \varDelta u \ }\)
\(\small{ \ u \ }\)の増分\(\small{ \ \varDelta u \ }\)に対する\(\small{ \ y \ }\)の増分を\(\small{ \ \varDelta y \ }\)
とすると\(\small{ \ \displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta x}=\displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta u }\cdot\displaystyle\frac{\varDelta u}{\varDelta x} \ }\)
\(\small{ \ u=g(x) \ }\)は連続であるから
\(\small{ \ \varDelta x \to 0 \ }\)のとき\(\small{ \ g(x+\varDelta x)\to g(x) \ }\)
\(\small{ \ \varDelta u=g(x+\varDelta x)-g(x) \ }\)より
\(\small{ \ \varDelta x \to 0 \ }\)のとき\(\small{ \ \varDelta u \to 0 \ }\)
よって
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle\frac{dy}{dx}&=&\displaystyle \lim_{\varDelta x \to 0}\displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta x}\\
&=&\displaystyle \lim_{\varDelta x \to 0}\left(\displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta u}\cdot \displaystyle\frac{\varDelta u}{\varDelta x}\right)\\
&=&\displaystyle \lim_{\varDelta u \to 0}\displaystyle\frac{\varDelta y}{\varDelta u}\cdot\displaystyle \lim_{\varDelta x \to 0}\displaystyle\frac{\varDelta u}{\varDelta x}\\
&=&\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\displaystyle\frac{du}{dx} \ \end{eqnarray}}\)