三次関数の最大最小（三角関数の置換）

(1)三倍角と倍角の公式より
$\small{ \ \sin 3x=3\sin x -4\sin^3 x =3t-4t^3\ }$
$\small{ \ \cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2t^2 \ }$
$\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&4(3t-4t^3)+9(1-2t^2)\\[3pt] &=&-16t^3-18t^2+12t+9 \ \end{eqnarray}}$

(2)$\small{ \ g(t)=-16t^3-18t^2+12t+9 \ }$とすると
$\small{\begin{eqnarray} \ g'(t)&=&-48t^2-36t+12\\[3pt] &=&-12(t+1)(4t-1) \ \end{eqnarray}}$
増減表は
$\small{ \ \begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & -1 & \cdots & \displaystyle \frac{1}{4} & \cdots \\ \hline g’(t) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(t) & \searrow & -5 & \nearrow & \displaystyle \frac{85}{8} & \searrow \end{array} \ }$
また、$\small{ \ 0 \leqq x \leqq \pi \ }$より$\small{ \ 0 \leqq t \leqq 1 \ }$
$\small{ \ g(0)=9 \ }$、$\small{ \ g(1)=-13 \ }$
よって最大値は$\small{ \ \displaystyle \frac{85}{8} \ }$$\small{ \ \sin x=\displaystyle \frac{1}{4} \ }$のとき
最小値は$\small{ \ -13 \ }$$\small{ \ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \ }$のとき

$\small{ \ (x, \ y)=(2\cos \theta, \ 2\sin \theta) \ }$とおける
ただし、$\small{ \ \left(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \ }$

$\small{ \ t=\sin \theta +\cos \theta \ }$とすると
$\small{ \ x^3+y^3\\[3pt] =8\left(t^3-3t \cdot \displaystyle \frac{t^2-1}{2}\cdot t\right)\\[3pt] =-4t^3+12t \ }$
ここで
$\small{ \ t=\sin \theta +\cos \theta\\[3pt] =\sqrt{2}\left( \theta + \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) \ }$
$\small{ \ \therefore 1 \leqq t \leqq \sqrt{2} \ }$
$\small{ \ f(t)=-4t^3+12t \ }$とすると
$\small{ \ f'(t)=-12t^2+12=-12(t+1)(t-1) \ }$
増減表は

よって最大値は$\small{ \ t=1 \ }$のとき
$\small{ \ \therefore \theta=0, \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ }$のとき$\small{ \ 8 \ }$
最小値は$\small{ \ t=\sqrt{2} \ }$のとき
$\small{ \ \therefore \theta=\displaystyle \frac{\pi}{4} \ }$のとき$\small{ \ 4\sqrt{2} \ }$