メネラウスの定理

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はメネラウスの定理の証明について学習していこう。

メネラウスの定理とその覚え方

メネラウスの定理

メネラウスの定理
\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)を一つの直線で切るとき辺 \(\small{ \ \mathrm{BC}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{CA}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)またはその延長との交点を\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)

メネラウスの定理の逆
\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の辺 \(\small{ \ \mathrm{BC}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{CA}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)またはその延長上の点を\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)とするとき外分点の個数が奇数個で、かつ\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)が成り立つならば三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)は同一直線上にある。

メネラウスの定理の証明

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の頂点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)を通って直線\(\small{ \ \mathrm{PR} \ }\)に平行な直線と\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)との交点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とすると

\(\small{ \ \triangle \mathrm{BCD} \backsim \triangle \mathrm{BPQ} \ }\)より
\(\small{ \ \mathrm{BP:PC=BR:RD} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}= \displaystyle \frac{BR}{RD}} \ }\)

また\(\small{ \ \triangle \mathrm{ARQ}\backsim \triangle \mathrm{ADC} \ }\)より
\(\small{ \ \mathrm{CQ:QA=DR:RA} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{\displaystyle \frac{CQ}{QA}= \displaystyle \frac{DR}{RA}} \ }\)

よって
\(\small{\mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}\\
=\displaystyle \frac{BR}{RD}\cdot \displaystyle \frac{DR}{RA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}\\
=1 \ }\)

メネラウスの定理の逆の証明

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の辺 \(\small{ \ \mathrm{BC}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{CA}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)またはその延長上にある点を\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)かつ\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)が成り立つとする。
また、このとき直線\(\small{ \ \mathrm{PR} \ }\)と直線\(\small{ \ \mathrm{AC} \ }\)との交点を\(\small{ \ \mathrm{Q'} \ }\)とする。

\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q', \ R} \ }\)は同一直線上の点だから
メネラウスの定理より
\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ'}{Q'A}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)が成り立つ。
仮定より
\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)
よって
\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{CQ'}{Q'A}= \displaystyle \frac{CQ}{QA}} \ }\)より
点\(\small{ \ \mathrm{Q'} \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)は同じ点である。

つまり\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の辺 \(\small{ \ \mathrm{BC}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{CA}, \ }\)\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)またはその延長上の点を\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)とするとき外分点の個数が奇数個で、かつ\(\small{ \ \mathrm{\displaystyle \frac{BP}{PC}\cdot \displaystyle \frac{CQ}{QA}\cdot \displaystyle \frac{AR}{RB}}=1 \ }\)が成り立つならば三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)は同一直線上にある。