条件式付きの二次関数の最大最小

(1)\(\small{ \ x+2y=1 \ }\)のとき、\(\small{ \ x^2+y^2 \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ x^2+y^2=1 \ }\)のとき、\(\small{ \ 2x+4y^2 \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

(1)\(\small{ \ x=1-2y \ }\)より、
\(\small{\begin{eqnarray} x^2+y^2&=&(1-2y)^2+y^2\\
&=&5y^2-4y+1\\
&=&5\left(y-\displaystyle \frac{2}{5}\right)^2+\displaystyle \frac{1}{5} \ \end{eqnarray}}\)
よって最小値は\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{1}{5}、y=\displaystyle \frac{2}{5} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{5} \ }\)
(2)\(\small{ \ y^2=1-x^2 \ }\)より、
\(\small{\begin{eqnarray} \ 2x+4y^2&=&2x+4(1-x^2)\\
&=&-4x^2+2x+4\\
&=&-4\left(x^2- \displaystyle \frac{1}{2}x\right)+4\\
&=&-4\left(x-\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2+\displaystyle \frac{17}{4}
\end{eqnarray}}\)
ここで、\(\small{ \ y^2=1-x^2 \ }\)より\(\small{ \ 1-x^2 \geqq 0 \\
x^2-1 \leqq 0\\
(x-1)(x+1) \leqq 0 \\
\therefore -1 \leqq x \leqq 1 \ }\)
よって\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{1}{4}、y=\pm \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4} \ }\)のとき、最大値\(\small{ \ \displaystyle \frac{17}{4} \ }\)
\(\small{ \ x=-1、y=0 \ }\)のとき、最小値\(\small{ \ -2 \ }\)