二項定理の証明

2017年1月20日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は二項定理の証明について学習していこう。

二項定理の証明

二項定理

\begin{matrix} (a + b)^{n} & = & _{n} C_{0} a^{n} b^{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots +_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n} a^{0} b^{n} = & n \sum r = 0_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} \end{matrix}

$\small{\begin{eqnarray} \ (a+b)^n&=&{}_n \mathrm{ C }_0a^nb^0+{}_n \mathrm{ C }_1a^{n-1}b+{}_n \mathrm{ C }_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_na^0b^n\\ &=&\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ \end{eqnarray}}$

$\small{ \ n=2 \ }$ のとき $\small{ \ a^2+2ab+b^2 \ }$
$\small{ \ n=3 \ }$ のとき $\small{ \ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \ }$

数学的帰納法による証明

$\small{ \ (a+b)^n=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
(i) $\small{ \ n=1 \ }$ のとき
左辺 $\small{ \ =a+b \ }$
右辺 $\small{ \ =\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ 1 } {}_1 \mathrm{ C }_ra^{1-k}b^r=a+b \ }$
よって $\small{ \ n=1 \ }$ のとき成り立つ。

(ii) $\small{ \ n=k \ }$ のとき
$\small{ \ (a+b)^k=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }$ が成り立つと仮定する。
両辺に $\small{ \ a+b \ }$ をかけると

\begin{matrix} (a + b)^{k + 1} & = & (a + b) n \sum r = 0_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} = & a k \sum r = 0_{k} C_{r} a^{k - r} b^{r} + b k \sum r = 0_{k} C_{r} a^{k - r} b^{r} = & a^{k + 1} + a k \sum r = 1_{k} C_{r} a^{k - r} b^{r} + b k - 1 \sum r = 0_{k} C_{r} a^{k - r} b^{r} + b^{k + 1} = & a^{k + 1} + k \sum r = 1_{k} C_{r} a^{k + 1 - r} b^{r} + k - 1 \sum r = 0_{k} C_{r} a^{k - r} b^{r + 1} + b^{k + 1} = & a^{k + 1} + k \sum r = 1_{k} C_{r} a^{k + 1 - r} b^{r} + k \sum r = 1_{k} C_{r - 1} a^{k + 1 - r} b^{r} + b^{k + 1} = & a^{k + 1} + k \sum r = 1 (_{k} C_{r} +_{k} C_{r - 1}) a^{k + 1 - r} b^{r} + b^{k + 1} = & a^{k + 1} + k \sum r = 1_{k + 1} C_{r} a^{k + 1 - r} b^{r} + b^{k + 1} = & k + 1 \sum r = 0_{k + 1} C_{r} a^{k + 1 - r} b^{r} \end{matrix}

$\small{\begin{eqnarray} \ (a+b)^{k+1}&=&(a+b)\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r\\ &=&a\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r\\ &=&a^{k+1}+a\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b^{k+1}\\ &=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r+\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^{r+1}+b^{k+1}\\ &=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_{r-1}a^{k+1-r}b^{r}+b^{k+1}\\ &=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k }\left( {}_k \mathrm{ C }_r+{}_k \mathrm{ C }_{r-1}\right) a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}\\ &=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_{k+1} \mathrm{ C }_r a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}\\ &=&\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k+1 } {}_{k+1} \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r \ \end{eqnarray}}$

よって $\small{ \ n=k+1 \ }$ のときも成り立つ。

(i)(ii)より全ての自然数で $\small{ \ (a+b)^n=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }$ は成り立つ

a_{1} + a_{2} = 2 \sum k = 1 a_{k}

$\small{ \ a_1+a_2=\displaystyle \sum_{ k=1}^{2} a_k \ }$ は

a_{1} + a_{2} = 1 \sum k = 0 a_{k + 1}

$\small{ \ a_1+a_2=\displaystyle \sum_{ k=0}^{ 1} a_{k+1} \ }$ って変形できる。

これを応用して $\small{ \ \displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^{r+1} \ }$ は $\small{ \ \displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_{r-1}a^{k+1-r}b^{r} \ }$ になる。