(定・公)式と証明

コーシーシュワルツの不等式

2017年2月23日

数学Ⅱ 式と証明

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はコーシーシュワルツの不等式の証明について学習していこう。

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コーシーシュワルツの不等式の証明

高校数学で使う有名な不等式の\(\small{ \ 1 \ }\)つだから絶対覚えていてほしいし、いざというとき使えるようにしてほしい不等式の\(\small{ \ 1 \ }\)つだよね。

これ以外に有名な不等式といえば相加相乗もあるよね。あわせて覚えておこう。

コーシーシュワルツの不等式

すべての文字が正の数のとき
(1)

\(\small{ \ \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geqq \left(ax+by\right)^2 \ }\)

等号成立は\(\small{ \ \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b} \ }\)のとき

(2)

\(\small{ \ \left(a^2+b^2+c^2\right) \left(x^2+y^2+z^2\right)\geqq \left(ax+by+cz\right)^2 \ }\)

等号成立は\(\small{ \ \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b}= \displaystyle \frac{z}{c} \ }\)のとき

(3)

\(\small{ \ \left({a_1}^2+{a_2}^2\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\geqq \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2 \ }\)

等号成立は\(\small{ \ \displaystyle \frac{b_1}{a_1}= \displaystyle \frac{b_2}{a_2}=\cdots= \displaystyle \frac{b_n}{a_n} \ }\)のとき

\(\small{ \ \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geqq \left(ax+by\right)^2 \ }\)の証明

(1)の証明

左辺\(\small{ \ - \ }\)右辺
\(\small{=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2\\
=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\\
= \left(ay-bx\right)^2\geqq0 \ }\)
等号成立は \(\small{ \ ay-bx=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b} \ }\)のとき

\(\small{ \ \left(a^2+b^2+c^2\right) \left(x^2+y^2+z^2\right)\geqq \left(ax+by+cz\right)^2 \ }\)の証明

(2)の証明

左辺\(\small{ \ - \ }\)右辺

\(\small{=\left(a^2+b^2+c^2\right) \left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\\
=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2 \left(abxy+acxz+bcyz\right)\\
= \left(ay-bx\right)^2+ \left(az-cx\right)^2+ \left(bz-cy\right)^2\geqq 0 \ }\)

等号成立は
\(\small{ \ ay-bx=az-cz=bz-cy=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{x}{a}= \displaystyle \frac{y}{b}= \displaystyle \frac{z}{c} \ }\)のとき

\(\small{ \ \left({a_1}^2+{a_2}^2\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\geqq \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2 \ }\)の証明

(3)の証明

任意の実数\(\small{ \ t \ }\)を用いると

\(\small{ \ \left(a_1t-b_1\right)^2+\left(a_2t-b_2\right)^2+\cdots\left(a_nt-b_n\right)^2\geqq 0 \ }\)

が成り立つ。

これを整理すると

\(\small{ \ \left(a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2\right)t^2-2 \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)t+b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\geqq 0 \ }\)

これが任意の実数\(\small{ \ t \ }\)で成り立つためには、\(\small{ \ a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2\gt0 \ }\)より

\(\small{ \ \left(a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2\right)t^2-2 \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)t+b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2=0 \ }\)

の判別式が\(\small{ \ 0 \ }\)以下になるので

\(\small{ \ \displaystyle\frac{D}{4}= \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2-\left(a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\right)\leqq0 \ }\)

よって

\(\small{ \ \left({a_1}^2+{a_2}^2\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\geqq \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2 \ }\)

等号成立は\(\small{ \ a_1t-b_1=a_2t-b_2=\cdots=a_nt-b_n=0 \ }\)のとき

\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{b_1}{a_1}= \displaystyle \frac{b_2}{a_2}=\cdots= \displaystyle \frac{b_n}{a_n} \ }\)のとき

point
ちなみにこの不等式を和記号で表すと
\(\small{ \ \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_k}^2\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{b_k}^2\right)\geqq\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kb_k}\right)^2 \ }\)って書けるからね。

それとこの和記号を積分の形にした積分不等式(数学Ⅲ)ってのもあるからあわせてチェックしておこう。

CHECK
シュワルツの積分不等式-i
シュワルツの積分不等式

シュワルツの積分不等式の証明について解説しています。

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名前:リンス
職業:塾講師/家庭教師
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