二項定理の証明

2017年1月20日

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は二項定理の証明について学習していこう。

二項定理の証明

二項定理

\(\small{\begin{eqnarray} \ (a+b)^n&=&{}_n \mathrm{ C }_0a^nb^0+{}_n \mathrm{ C }_1a^{n-1}b+{}_n \mathrm{ C }_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_na^0b^n\\
&=&\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ n=2 \ }\)のとき\(\small{ \ a^2+2ab+b^2 \ }\)
\(\small{ \ n=3 \ }\)のとき\(\small{ \ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \ }\)

数学的帰納法による証明

\(\small{ \ (a+b)^n=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }\)が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
(i)\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき
左辺\(\small{ \ =a+b \ }\)
右辺\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ 1 } {}_1 \mathrm{ C }_ra^{1-k}b^r=a+b \ }\)
よって\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき成り立つ。

(ii)\(\small{ \ n=k \ }\)のとき
\(\small{ \ (a+b)^k=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }\)が成り立つと仮定する。
両辺に\(\small{ \ a+b \ }\)をかけると

\(\small{\begin{eqnarray} \ (a+b)^{k+1}&=&(a+b)\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r\\
&=&a\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r\\
&=&a^{k+1}+a\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^r+b^{k+1}\\
&=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r+\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^{r+1}+b^{k+1}\\
&=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_{r-1}a^{k+1-r}b^{r}+b^{k+1}\\
&=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k }\left( {}_k \mathrm{ C }_r+{}_k \mathrm{ C }_{r-1}\right) a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}\\
&=&a^{k+1}+\displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_{k+1} \mathrm{ C }_r a^{k+1-r}b^r+b^{k+1}\\
&=&\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k+1 } {}_{k+1} \mathrm{ C }_ra^{k+1-r}b^r \ \end{eqnarray}}\)

よって\(\small{ \ n=k+1 \ }\)のときも成り立つ。

(i)(ii)より全ての自然数で\(\small{ \ (a+b)^n=\displaystyle \sum_{ r = 0}^{ n } {}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r \ }\)は成り立つ

\(\small{ \ a_1+a_2=\displaystyle \sum_{ k=1}^{2} a_k \ }\)は\(\small{ \ a_1+a_2=\displaystyle \sum_{ k=0}^{ 1} a_{k+1} \ }\)って変形できる。

これを応用して\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ r = 0}^{ k-1 } {}_k \mathrm{ C }_ra^{k-r}b^{r+1} \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ r = 1}^{ k } {}_k \mathrm{ C }_{r-1}a^{k+1-r}b^{r} \ }\)になる。

また、二項定理の係数のことを二項係数って言って、その性質として\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r+{}_n \mathrm{ C }_{r-1}={}_{n+1} \mathrm{ C }_r \ }\)があげられるから覚えておこう。

今回の証明はこの変形と二項係数を利用して証明している。